DETERMINATION" DES CONIQUES ET QLADRIQUES; ÉQCATIONS GÉNÉRALES. '(IJ
11. Dans un cylindre parabolique, on donne un plan diamétral alla ilirection des génératrices. Combien faut-il encore de points pour le déterminer? Gonslruire sa base en se donnant ces points. (E. P., igiS.)
12. Soient deu.v axes rectangulaires 0.3:t, un point A sur Oo; et un point B sur Oy. Former ré({uation générale des coni(|ues passant par O. A. B et telles que les tangentes en A et B se coupent sur la perpendiculaire abaissée de O sur AB.
13. Former l'éijuation générale des ellipses de grandeur constante tangentes aux axes de coordonnées. Trouver les lieux de leurs centres et de leurs foyers. {Cf. Exercice résolu n° 2.)
iï. E([uation générale de> paraboles tangentes à O.r et Or et telles <(ue la corde de contact paï<se par un point fixe.
i'ô. Trouver l'enveloppe des paraboles passant par deux points fixes A et B et tangentes à une droite fixe parallèle à AB, Lieu du pôle de AB. I'. P., 1913.)
16. i" Formel' les é([uations ponctuelle et tangenlielle de la parabole n la plus générale bitangente à une ellipse donnée E;
•'." Enveloppe de la corde de contact D quand II passe par un point live P. Cette enveloppe est une ellipse E' homolliétique à E. Chercher la corde commune de E et de I". . Lieu de P pour que E' garde une grandeur constante.
17. Former ré(|uation générale des cercles tangents à une ellipse- Lieu des centres de ces cercles quand la sécante commune enveloppe une ellipse liomothéti(}ue et concentri(|ue à la proposée.
18. On considère les coni([ues inscrites dans un losange fixe admettant 0.r et O }' pour diagonales. Par un point .M(.r, y) passent deux de ces coni([ues. Former léquation aux coefficients angulaires des tangentes en M à ces conicjues. (^)uel lieu doit décrire le point M pour ([ue ces tangentes fassent un angle constant? Montrer ([ue ce lieu se compose d'hyperboles. (Bourses de licence, 1890.1
l'J. l'ormer léquation générale des paraboles surosculalrices à une conique donnée.
20. l*>quation générale et'Iieu des centres des hyperboles é((uilalères suiosculnlrices à une ellipse donnée. {E. P., 191 3.)
IIaag. — Exercices, II. • 27
fi8 «;haimtre wmii.
21. Equation générale et lieu des foyers des paraboles (jiti ont un sommet donné et passent par un point donné. (E. P., i()i3.)
22. Soit un cercle de centre O. On considère la parabole osculatrice à ce cercle au point \ariable M et ayant son axe parallèle à Ou. Trouver l'eaveloppe de la droite joignant M au deuxième point de rencontre du cercle et de la parabole. (E. P., iQiS.)
[On connaît la direction de cette droite (n" ."^OG).]
23. Trouver toutes les coniques G qui coupent orlliogonalement une ellipse donnée E aux quatre points de rinlerseclion. (E. P., 1906.)
[En exprimant rorlhogonalité, on obtient une équalion du second degré en -f, y, qui doit représenter une conique du faisceau (C, E). En faisant l'identification, on aboutit à quatre familles de coni((ues, suivant qu'on suppose qu'il v a, dans l'équation de C, un terme en y, un terme en ce, un terme en jry ou aucun de ces termes. Les trois premières familles sont des faisceaux ponctuels; la quatrième est le faisceau des coniques liomofocales à E (n° 51G).]
2i. Même question, en remplaçant lellipse par une parabole. (On trouve les ellipses 2 a- -h j'- = const., un faisceau ponctuel de j)araboles et les paraboles homofocales à la proposée.)
25. Eormer l'équation générale de> coniques S tangentes en Oà < >.r et admettant en ce point un rayon de courbure donné R. Former également les équations des deux axes de S.
I Introduire l'angle polaire c- de la sécante commune. Les angles
... , Ci o 7: \
polaires des axes sont alors — et — h • )
2G. Lieux des centres et des sommets des livperboles équilatères <|ui ont une directrice donnée et passent par un point donné. (E. iN., i90.">.)
27. Enveloppe de la sécante commune à une ellipse et au cercle osculateur en chacun de ses j)oinls. (K. P.. 190G.)
28. < jue deviennent les théorèmes II et III du n° .50.Ï, quand la droite I > passe par un point de base?
