UÉTERMIXATION DES CONIQUES ET QCADRIQUES ; ÉQUATIONS GÉNÉRALES

29. *}ae devient le lliéorènie X du n° oOo, quand les coniques du faisceau sonl bitangentes ?

(Prendre Téquation tangentielle /. «- -h 2 vii-^= o.)

30. Trouver le lieu de rorabilic du cercle et de la parabole de l'Exercice n" 22 (coordonnées tangentielles).

31. Lieu des sommets des paraboles inscrites dans un triangle rectangle (coordonnées tangentielles ).

32. Soient une ellipse E et un point M de son plan. On considère le cercle C passant par M et les points de contact P et O des -tangentes à E issues de M. Ce cercle rencontre de nouveau E en P'. Q'. Prouver que les tangentes en P'. Q' à E se coupent en M' sur C et que, par M et M . on peut faire passer un cercle contenant les deux foyers (réels ou imaginaires) de E. (E. \., 1891; composition écrite.)

(OVI et 0 M' sonl, a priori, également inclinées sur les axes. Prendre deux points M et M dans celle condition et considérer le faisceau déterminé par E et les polaires de ces points.)

33. Montrer que l'équation ponctuelle générale des coniques inscrites dans le triangle de référence peut s'écrire

Av/^4-BVJ + GvI = '>.

Application aux cônes de sommet O et tangents aux plans de coordonnées. Problèmes corrélatifs.

31. On décrit un cercle C, de centre 0 et de rayon Pi. dans le plan des ji-y. On prend un point A sur Ou- et Ion mène une sécante qaelconque AM\. Sur .M.\ comme diamètre, on décrit un cercle C, dans un plan perpendiculaire à .rOr. Trouver Féquation générale des quadriques passant par G et C

3."5. Soit un tétraèdre OAl^.C tiirectangle en O. On circonscrit un cercle F à 0\B et deux hyperboles équilalères 11 et H' à OAC et OBC. Montrer (|u'il existe une (|uadri(|ue I! passant par ces trois courbes.

3(i. Former léqualion générale des paraboloïdes P admettant rOy pour plan de symétrie, tangents à yOz en O et ayant pour trace sur zK\.i une ellipse de grandeur invariable dont le grand axe est sur 0.r. (Agrègalioii, 1901 , extrait.)

37. Sur Oa:, on prend OA.= OA'=:a; sur Oj, OB — OB'=b; sur Oz, OC = OG'=rc. Former l'équation générale des quadriques passant par les six points A, V , B, B', C, G'.

38. Soient un ellipsoïde E, deux points P et P' et les sections C et G' de E par les plans polaires de P et P'.

Montrer qu'il y a une (juadrique i, en général uni((ue, qui passe par G, G'. P, P'. Dans quel cas y en a-t-il une infinité et quel est alors le lieu de leurs centres ?

Parmi l'ensemble des quadriques i, il y a des sphères. Trouver leur enveloppe. (Agrégation, i888, extrait.)

39. On reprend la surface ^ de l'Exercice résolu ii" V du Ghapitre XXXII.

Montrer que ses lignes de plus grande pente, quand on suppose O; vertical, sont des biquadraliques unicursales, situées sur des paraboloïdes de révolution d'axe O-;.

'i-O. Démontrer que si deux quadriques se raccordent suivant O^, les pôles d'un même plan P par rapport à ces deux quadriques sont sur une droite rencontrant Oz.

kl. Quels sont le lieu des droites conjuguées d'une droite fixe et l'enveloppe des plans polaires d'un point fixe par rapport aux quadriques d'un faisceau tangentiel ? {Cf. Exercice résolu n° 7.)

k'2. On donne les points A sur O^, B sur Oy, G sur Oz. Equation générale et lieu des centres des quadriques contenant le quadrilatère gauche OAGBO. (E. P., igiS.)

V3, Trouver les quadriques contenant la courbe

jL-=zcos6, y=zi-\-sin6, 5 =r tango.

kk. Equation générale des quadriques passant par Ox et 0/ et admettant comme plans asymptotes zOa: et zOy. (E. P., iQiS.)

k'ô. Etendre à l'espace l'Exercice résolu n" i.

^•■6. EKaminer ce que deviennent les [)ropriétés des n"'^ 510 à 513 quand les coni(|iues du réseau (K) ont un, deux ou trois points communs et, corrélativement, quand les coniques du réseau (p) ont une, deux ou trois tangentes communes.