DÉTERMINATION DES CONIQUES ET QLADRIQUES; ÉQLATIOXS GÉNÉRALES

[Si le réseau (R) admet un point de base A. la cayleyenne (F) se décompose en ce point et une conique. De plus, A est un point double de (H). Si l'on a deux points de base A et B, (F) se décompose en ces deux points et un troisième. De plus, (U) se décompose en la droite AB et une conique passant par A et B.|

47. On considère une famille d'iiyperboles érjuilatères H, liomothétiques et concentriques.

1° Lieu des points de contact des tangentes issues d'un point fixe P;

2° Enveloppe des tangentes aux points de rencontre avec une droite fixeD;

3° Lieu des ombilics relatifs à H et à une conique fixe S;

4° Enveloppe des cordes communes à H et à une conique fixe i. Cas où i se compose de deux droites rectangulaires:

5° Lieu des sommets et enveloppe des côtés du triangle conjugué commun à H et I,.

[Considérer le réseau tangentiel (H, S) et le réseau ponctuel (H, 2.). Les propriétés i" et 2" sont des cas particuliers de 3° et 4".]

i8. On considère toutes les hyperboles équilatères II, qui déterminent sur Oy un segment variable de milieu O et qui divisent harmoni-

quement un segment AB de Ox, défini par OA = a. OB =3 b.

1° Montrer qu'il existe une infinité de segments MM' divisés harmoniquement par toutes les hyperboles H; les points M et M' sont chacun le centre d'une hyperbole H réduite à deux droites;

2° M el M' sont les foyers d'une conique tangente en O à Ox et, en des points variables, aux parallèles à Oy menées par A et B;

3° Lieu du milieu de MM' et lieu S de M et de M';

4° Montrer que S peut être définie comme enveloppe de quatre familles de cercles, qui lui sont bitangents. Lieu des centres de ces cercles. Prouver que S est triplement anallagmatique;

5° En M et M', on mène les tangentes à S; lieu de leur point de rencontre. (Agrégation, iSg^O

(Les hyperboles 11 forment un réseau ponctuel. Le réseau conlravariant admet pour coniipies de base les points cycliques, les points A el B, le point <) et le j)oint à l'infini sur Oy.)

V9. La hessienne d'un roseau de cercles est le cercle orlholomique (nMTi).