FOYERS. 4Î

\]u portant dans 1 *] >. il vient (S) y:-=±i.

En définitive, les foyers réels sont obtenus en prenant le signe — et ont pour coordonnées respectives (i, — i) et ( — i , — ô).

Le signe — donnerait les fovers innaginaires; la droite (71 correspondante est l'axe non transverse de l'hyperbole proposée.

Les directrices correspondant aux. deux foyers réels sont le? polaires de ces points: elles ont pour éf[uations respectives

,r -(- V — I ziz o et j: — v — 3 := o.

2. Élan! donnés un cercle C et une droite D, le lieu des centres des cercles y tangents àD et orlhogonau.r à C est une parabole IL Trouver le lieu du foyer et V enveloppe de la directrice de II, quand D passe par un point fixe P. L'enveloppe est une parabole W, de forer P; trouver le lieu de P quand la directrice de II' passe par un point fi.e 0.

Prenons pour axes deux diamètres rectan;.'ulaire5 de C et soient a. V, (V les coordonnées homogènes de D.

Soient (.r, j') les coordonnées du centre de y. Si R désigne le rayon de C. le ravon R' de y est \.r- — y-— R-. Écrivant que y est tangent à D. nous avon- réquation de II :

(i) y ux -^ vy -^- (i- 1- = ( .r--hy'- — P^-; («--h i'' )•

Sous cette forme, on reconnaît que le cercle C est un cercle focal d.- n, la corde de contact étant D et Texcenlricité i (n° 538). Le foyer F se trouve sur la perpendiculaire abaissée de O surD; ses coordonnées sont donc de la forme r,u. or. La directrice A est parallèle à D: soient w, V, w' ses coordonnées. L"équation (ij doit pouvoir s'écrire

( 2 ) {u X ^ vy -^ (v' )- = [( ./■ — 0 u f -M' r — p t' )'](«- -I- »" ) •

Ln identilianl, on trouve les conditions

La seconde .-quation s'écrit, en tenant compte de la |.remière,

4/t4 CHAPITRE XX XIV.

Par acldilioîi et souslraclion de (3) et (5 ), on a

(0) iv'=\r-\ ^ , 0 r=

Les coordonuéos du foyer 1^' sont donc

et celles do la directrice A sont

(8) /fz=zu, v' z::r. i\ w' z= IV -^ ^^ ■•

2 tV

Si D jDassc par le point fixe P(a, 3), on a

Eliminons /^ r. u entre (7) et (9), nous a\ons /\'-/]ualio/i du lien de F :

Ce lieu est une droite liomolhéli(iue de la polaire de P pai- rapport

à C, dans le rapport—? le centre dhomothétie étant O.

Eliminons maintenant u, r, tr entre (8) et (9); nous obtenons l'éf/iu/tion tangenlielle de II' :

»V'— — lu' X + r'3) ; -r-r-

ou, en chassant le dénominateur et supprimant les accents :

Sous cette forme, on aperçoit les deux foj'ers représentés par les équations langenlielles ( n° 0I6)

(12) //aH-v^(3 = o, «a + rj3 + (ï'zir o.

Le premier est le point à l'infini sur OP; le second est le point P. Donc, II' est une parabole de foyer P et d'a-re PO. Sa directrice, qui est perpendiculaire à OP, a des coordonnées de la fojme

(•3) a, iS. >..

FOYERS. î>5

Le pôle d'- celte dioite a pour équation langentiolle (a" ii3)

Celle équation doit être identique ii l'équation tangentielle du foyer P, soit

Il y. -^ ('3 -T- tï' = o.

L'identification est immédiate ft donne

d'où /.. La directrice de H' a fiaalenient pour équation

(14) aot'-f- 3r — (a--^ 3--i-R-) = 0.

Si Ton regarde ./ . y comme les coordonnées fixes de (^ et y.. 3 comme Je'S coordonnées courantes, cette équation représente le dernier lieu demandé, qui est donc un cercle orthoiional à C et ayant pour centre le milieu de <-)*}.

3. Lieu des points de contact des tani^entes et des pieds des normales tn('née<: à des coniques Imninfocales parallèlement à une direction fixe 1.

Piemarquons d.ibord, en veriu d un théorème du n° oi(J. que tout pied de normale parallèle à A est un point de contact de tan;:ente perpendiculaire à A. Le second lieu se ramène donc au premier, eu reiuplaeant A par la direction perpendiculaire A .

Soit maintenant l'équaliou tangenlielle du faisceau (n'' olC I

( I ) c- u- — iv- -T- /. ( u- — 1-) ^ o.

Le point de contact de la tangente {u, c, n) a pour coordonnées

{c-~'t.)u AV

— Il- " — if

Nous aurons l'équalion du lieu, quand iv et /. varient, en éliminant ces quantités entre ! }) et (2 ). Le calcul est facile^et donne

( 3 ) ( uy — ix ) {u a- -i- ^y ) — c- uc — ; o .

Le lieu est une liyperbole équilatère. admettant pour asymptotes les

4?.6 (HAPIÏIŒ XWIV.

parallèle et perpendiculaire ô A menées par O el passant par les fuvers des coniques proposées.

Remarque. — La tangenle MT est bi>>ectrice de l'angle l"\MF'. Le problème actuel est donc identique à celui qui fait l'objet de ri{\ercice proposé n° 46 du Chapitre IX.

4". Soient une quadrique (^) et un point A. Quel est le lieu des points M dont le plan polaire par rapport à O est perpendiculaire à MA? Quel est le lieu de la droite MA?

Considérons les quadriques H horaofocales à Q. Si I* est le plan polaire de M par rapport à Q, on sait que le lieu des pôles de P par rapport à H est une droite perpendiculaii e à P (n° 523). Celte droite passe évidemment par M; c'est donc MA. Il .^'ensuit (]ue A est le pôle de P par rapport à une quadrique H particulière. Les plans P peuvent donc être considérés comme les plans polaires de A par rapport aux quadriques H. On sait qu'ils enveloppent une développable A de la troisième classe {cf. Exercice proposé n° 41 du Chapitre XXXIII), tangente aux plans polaires doubles du faisceau, c'est-à-dire au plan de l'infini et aux plans principaux de Q.

La courbe T lieu de M est polaire réciproque de A par rapport à Q; c'est donc une cubique gauche passant par le centre el les points à r infini sur les axes de Q. Elle passe aussi par A, comme on le voit, en prenant pour plan P le plan polaire de A par rapport à Q. Il s'ensuit que le lieu de la droite AM est uu cône G du second degré., passant par le centre et les points à l'infini sur les axes de Q {cf. n" 330).

Remarques. — La droite AM est perpendiculaire au pian P correspondant; le cône C est donc supplémentaire du cône directeur de A. La génératrice G de contact de P et de A est donc perpendiculaire au plan tangent T à C le long de AM. On sait, d'ailleurs, qu'elle est conjuguée de la tangente à F en iNl. Comme cette tangenle est dans T. elle est perpendiculaire à sa conjuguée, {Cf. Chap. XXVll, Exercice proposé n° 14.) ■

Le pôle de T par rapport à Q se trouve sur G. Comme on peut remplacer i) par une ((uelcoiique des ([uadriques H (ce qui remplace F par une cubique analogue tracée sur C), on voit que G est le lieu des pôles de T par rapport aux quadriques H.

Remarquons, enfin, (|ue la trace N de AM sur P est le point de contact de la quadrique \\ tangente à P, à laquelle Ai\ est donc normale en i\. On peut donc dire rpje le cône C est le lieu des normales abaissées de Pi. sur les quadriques H,

EXERCICES PROPOSES

J. Trouver les foyers et directrices des coniques suivantes :