X- — ixv ^ y- — 2^:1=0 (E. P., igjo

{x -+- ij-+ {y — ■i)-^=z {x -+- 3/r ;

(m — (')--i- iw{ia — (•) -i- ati"- = o,

//- T- ■?. <•( a -t- tr) zn o.

^. Trouver le lieu des foyers des coniques tangentes à Ox et à Oy en deux points fixes A et B. Cas où OA ^ OB. (Prendre Téquation tangentielle de ces coniques.)

3. Trouver le lien du foyer de la parabole II de l'Exercice proposé n'^ Ki du Chapitre XXXIII, quand le pôle de D par rapport à E reste fixe et que les axes de E \ arien t arbitrairement. Montrer que, dans ces conditions, le foyer reste fixe (|uand l'ellipse E varie en restant homofocale à elle-même.

i. Lieu des foyers des paraboles de 1 Exercice n" ol du aième Chapitre.

o. Lieu des fovers des paraboles de grandeur constante tangentes à deux droites fixes. Cas où les deux droites sont rectangulaires. (É. P., 191.3.)

(Soient A el B les projections de 1" sur les deux droites : la distance de F à la dioite AB doit être constante. Pour le cas où les deux droites sont rectangulaires,//. Cliap. XXXIII. Exercice résolu n° 2.)

6. On reprend l'Exercice proposé n° 32 du Chapitre XXXllI. Soient 1, I', l" les points de rencontre de PQ, P'O', de PQ', P'Q, de PP'/QQ'- On suppose que iM reste lixe et que E varie en restant homofocale à elle-même.

Trouver les lieux des point». 1, i'. I". Montrer que tout cercle passant par r, 1" est orthogonal au cercle de diamètre MM'. (1*^. .\., 1891.)

(Solution géométrique facile, en se servant des résultats déjà obtenus dans l'Exercice précité.)

J2S CHAPITRE WXIV.

7. Lieu des points de contact des tangentes menées par un point fixe P à des coniques homofocales. Cas où 1* est sur un axe (E. P., igioj. {Cf. Exercice résolu n° 3.)

8. Trouver le lieu des foyers des coniques S d'un faisceau tangentiel. Montrer que c'est aussi le lieu des points où se coupent à angle droit deux coniques S. (Théorème de Desargues.)

<)uelle est l'enveloppe des axes? Examiner le cas particulier des coniques inscrites dans un rectangle et celui des paraboles inscrites dans un triangle rectangle.

(Considérer le réseau tangentiel constitué par les coniques homofocales aux coniques S et appliquer les résultats des n°^ 312 et .313. Traiter, en outre, les cas particuliers par le calcul.)

9. Calculer la sous-tangente polaire d'une conique, en partant de l'équation polaire focale du n" 520. En déduire le théorème il du n° 519.

10. Par le foyer F d'une hyperbole dont l'excentricité est égale à 2 et par le sommet A le plus éloigné de F, on fait passer une circonférence, t[ui coupe l'hyperbole en trois points M, N, P diflerents de A.

i" Ces points forment un triangle équilatéral.

2° Les droites FM, Fi\, FP coupent de nouveau l'hyperbole en trois points M', j\', P', sommets d'un autre triangle équilatéral.

3" Le cercle circonscrit au triangle M'N'P' passe par F et A' et coupe orlhogonalement le cercle MNP. (Mosnat.)

Prendre des coordonnées polaires. Si a désigne l'angle polaire de la tangente en F au cercle MNP, on trouve que l'équation aux r.» des point^ M, N, P est tang^—^ ^ — tanga. Toutes les propriétés de l'énoncé sont

ensuite évidentes.

11. Soient un foyer F d'une quadrique Q et A la directiice correspondante (c'est-à-dire la droite joignant les points de contact du cône isotrope de sommet F). Démontrer que, lorsque 1' décrit une focale ^•. A décrit un cylindre ayant pour section droite la polaire réciproque de «t par rapport à la conique de section de Q par le plan de $. (S'appuyer sur les raisonnements du n" 523.)

FOVERS. 429