Soient les paraboloïdes homofocaux II
/> ^ A ry + A
On considère la surface i enveloppe des plans polaires P d'un point llxe A par rapport à ces paraboloïdes. Démontrer les propriétés suivantes :
1° i est de la troisième classe.
2° Son arête de rebroussemenl T est une cubique gauche, de cône directeur C du second degré.
3° La section de 2, par un plan I^ se compose de la génératrice de contact G el d'une conique. En déduire le degré de 2i.
4° Chaque droite telle que G est le lieu des pôles d'un plan O par rapport aux paraboloïdes If. Ce plan () est perpendiculaire à G.
5° Quelle est lenveloppe Cj des plans ()? Quelles relations v a-t-il entre C, et II et entre Cj et C? (Concours général, 1900.)
(Solution analytique facile. Pour la solution géométrique, voir lExer- <ice résolu 11° i.)
13. Les contours apparents de f[uadriques homofocales sur un même plan P sont des coniques homofocales.
(Les plans tangents communs aux cylindres circonscrits sont des plans isotropes fixes ayant pour traces sur P des droites isotropes.-)
li. Lieu des diamètres conjugués d'un plan P par rapport à des quadiiques homofocales.
[Plan O perpendiculaire à P. ( C/". Exercice proposé n° 't-\ du Chapitre XXXIII.)]
l.^. Lieu des points de contact des plans parallèles à P et tangents à des quadriques homofocales.
(Hyperbole équilatère située dans le plan Q de l'Exercice précédent. Se ramène au problème suivant : Soient une conique C et des droites D parallèles; lieu de la projection sur D du pôle de cette droite par rapport à C. Faisceaux homographiques. 1
IG. Par une droite fixe, on mène des plans tangents à des quadriques homofocales. Trouver le lieu des normales aux points de contact. (Cf. Exercice proposé n" il du Chapitre XXXIII. ^
17. Montrei' que l'intersection de deux quadriques homofocales est une ligne de courbure pour chacune d'elles.
'f>0 CHAPITRE XXXfV. — FOYERS.
[Soient MT la tangente en M à cette ligne et P le plan tangent à la quadrique Q. Le lieu des pôles de P est la normale en M à Q. l'ar rapport à (}', cette normale est donc conjuguée de MT. Ces deux droites étant rectangulaires, ce sont des tangentes principales (n° 337).]
J8. Montrer que les focale* d"un cône du second degré sont six droites. Si, par un point F de l'une d'elles, on mène un plan perpendiculaire, la section du cône par ce plan admet F ])oui- foyer.
19. Les cônes supplémentaires d'une famille de cônes homofocaux sont des cônes homocvcliques. (Plans cycliques perpendiculaires aux focale*; couper par le plan de rinfini.)
ÉTUDi: ni:s coniques sin leurs eouatio.ns heduites.
EXERCICES RÉSOLUS
1. Théouème de Joachimstal. — Soient A, B, C, D les pieds des normales abaissées d'un point P sur une conique à centre T. Soit D le ])oinl diamétralement opposé à D. Les points \, B. (], D' sont sur un uirme cercle.
Il revient au même ( n° oOG) de démontrer que les droites AB cl CJ> sont également inclinées sur les axes. Remarquons, d'ailleurs, que CD' et CD sont des cordes supplémentaires {cf. Exercice proposé n° 13 du Chapitre XXX); elles ont, par suite, des directions conjuguées. Dés lors, nous allons démontrer que si AB et CD sont deux sécantes communes à la conique F et à une hyperbole d'Apolloniu-. la direction symétrique de AB par rapport k Or est conjugoiée de CD.
Si i u, c, w) et («', c'. iv') sont les coordonnées homogènes respectives de AB et de CD, on peut écrire une identité de la forme
( I ) -r — '17 — i -r- y.jcy -r- 3 v 4- y V = {u x -\- vy + w) («' ,r -\- r' y -i- iv' ). AL)
Il nous faut démontrer, d'autre part, que les directions de paramètres directeurs (f, //) et (c'. — a' \ sont conjuguées, c'est-à-dire que l'on a
n' uu'
Or, en égalant dans (i ) It-s coeflicients de u:- et les coefficients de r-, on trouve
uu -~= Y' '' -- îT •
Portant dans (2), on a une identité; donc, le théorème est démontré.
4 )'2 CHAPITRE XXW.
2. Cons/ruire les axes dhine ellipse, connaissant deux diamètres conjugués.
Soient OA et ( )B les diamètres donnés {fig. ji)- Menon> ia tangente
Fig. 4i.
ol /
en B, qui est }>arallèle à OA, et soient F et Q les points de rencontre de cette tangente a\ec les axes cherchés. Comme les axes sont deux diamètres conjugués, on a (Chap. XXX, Exercice proposé n° 15)
BP . BQ
OA
Donc, si nous portons BB=:BR':=OA sur la perpendiculaire à W\\ le cercle de diamètre PO passe j)ar R et H'. D'aulre part, il passe par O,
puisque Pangle POQ est droit. Il est donc entièrement déterminé par les trois points R. R', O. En le traçant et prenant son intersection avec BT. on obtient les points P et Q; d'où les axes OP et OQ.
Reste à construire les longueurs a el b des demi-axes. Le triangle OBR nous donne
Ôr' =r Ôb' + Br' — 2 OB . BR cos OBR
= Ob' + ÔX' + 2 OB . OA sin AOB
ou, en utilisant les théorèmes d'Apollonius,
(Jl\'=a--i' 0'+2ab— {a + by-; d'où OR z= a -\- b. On trouve, de même, 0R'= a — b. Donc, OR + OR' , OR — OR'
3. Lieu des centres des triangles équilalcraux inscrits dans une ellipse. {Cf. Chap. \XX1I, Exercice proposé n" 15.)
Nous allons exprimer que le centre de gravité coïncide avec le centre du cercle circonscrit. Soit
(l) J---\-V^ ■2(XJr — 2(3/ H- -/^ G
l'équation de ce cercle. L'équation aux j? de ses points d'intersection avec l'ellipse est
[c^a^- — la'-y.x -t- a-( 6- + y )]2-|- 4|3-«^6-(.z.'- — a-) = o.
La somme des racines est — 7—- Donc, si \ désigne l'abscisse du quatrième point de rencontre, on doit avoir
da -I- c = — — :
d'où
En échangeant \ et y], a et (3. a et 6, on a
En écrivant que t-, '0 satisfont à l'équation de l'ellipse, on a l'équation du lieu :
Le lieu est une ellipse de demi-axes — — -; et ■— — ■•
^ a- -+-60'^ o--t- oa'^
k. Soient deux paraboles V el V ayant même sommet et orthogonales en ce point. Il existe une infinité de triangles ABC inscrits dans P et circonscrits à P'. (Exercice proposé n° 20 du Chapitre XXXIL)
I" Les normales en A, B, C sont concourantes; trouver le lieu du point de concours.
2" Les hauteurs du triangle ABC sont normales à une parabole P".
3" Si, A restant Jixe, ainsi que P, on fait varier le paramètre de V, le côté BG se déplace parallèlement à lui-même.
Haag. — Exercices, II. 28
Soient
y- — 1 px =: o, x"^ — ip' y = o
les équations des deux paraboles.
Cherchons la condition pour que la corde joignant les points ÎM,(^,,yi) et M^{x.2, y.2) de P soit tangente à P'. Cette corde a pour équation
ip r— V,
■ip
ou, en supprimant le facteur Vj — y, et ordonnant,
(i) 2/j.r— y(r, -hy-i) +rir2 = o.
Ecrivons que les coefficients de cette équation satisfont à l'équation tangentielle de P', p' u- — 2 vw = o :
kp-p' -^ 2(/, + V.J/i.Vo
Cela posé, soient {x^, Y\) 'es coordonnées du point A. Nous aurons l'équation aux j' des points B et C, en remplaçante^, par y dans (2) :
Si ^2 et j'a désignent les racines, nous avons
2/yv'
Pour prouver que BC est tangent à P', il nous suffit de vérifier que l'équalion (2) est satisfaite, ([uand on y remplace y, par y-^. Cette vérification est immédiate, en utilisant (4) et (5).
I" La relation (4) nous prouve que le centre de gravité du triangle ABC est sur 0 y. Donc, les normales en A, B, C sont concourantes. (Exercice proposé n" 33.)
D'ailleurs, si (o^o, jo) ^oul les coordonnées du point de concours P, nous avons, d'après l'équation (69) du n" 5i3 et en utilisant tou-
jours (4) el (5),
La dernière équation nous donne yf,^=p'. Le lieu du point P est donc la droite symc/ri'/iie de Or par rapport au forer de V .
1° La liauteur issue, de A a pour équation, en se servant de (i), puis
de (4),
'^P ~ — (/2+/3)' ou
(•^— ^j/i-2/^(/-/i) = o, ou
(6) j>-^— 2/9(2/^ -H j;)/i 4- 4/y"^ V — o. L'enveloppe de cette droite a pour équation (n° 272)
(7) — 2(^- + 2/>)'4-27/J7-=rO.
On reconnaît la forme générale de l'équation des développées de parabole {cf. Exercice proposé n" 35). En comparant avec l'équation (71) du m" o'*3, on trouve que l'équation (7) représente la développée de la parabole P" :
3° D'après (i) et (4), le coefficient angulaire de BG est
Donc, BC a une direction symétrique de OA. par rapport à 0>r, et, par suite, constante dans les conditions de l'énoncé. Ceci est, du reste, évident, d'après le théorème de Joachimstal (Exercice proposé n» 3i) et d'après les propriétés des sécantes communes à un cercle et à une conique (11" 506).
EXERCICES PROPOSÉS
1. Désignant par o l'angle d'anomalie excentrique d'un point M d'une fllipse E, on pose e'?:=^. Calculer les coordonnées de M en fonclion
de t. Trouver la relation qui doit lier les t^ puis les o de quatre points de E pour qu'ils soient sur- un tnèuie cercle ou sur une même hyperbole é(|uilatère d'asymptotes parallèles aux axes.
Montrer que. par tout point A de E, on peut mener trois cercles osculateurs à E. Soient M,, Mo, M3 les points de contact. Montrer que le triangle M,M2M3 a son centre de gravité au centre de Tellipse. Réciproque. Montrer que le cercle circonscrit à ce triangle passe par A.
(Condition pour que quatre points soient sur un cercle :
9, H- 0-0 -h 03 H- cij = 2 kr..
Le triangle MjMjMj est la projection d'un triangle équilatéral.)
1. La normale en M à une conique à centre rencontre les axes de
MA MB
cette conique en A et B. Démontrer que —- demeure constant, quand M
varie.
3. Démontrer que Fliyperbole d'Apollonius du point P est le lieu des points M dont la polaire est perpendiculaire à MP.
4. Soient trois points A, B, G d'une conique à centre, d'axes 0.r et Oy. Par A on mène une parallèle à O v et parB une parallèle à O.r; soit y leur point de rencontre. Soient a et p les points de rencontre de AC avec Oa- et de BC avec Oy. Démontier que la condition nécessaire et suffisante, pour que les normales en A, B, G à la conique soient concourantes est que les i^oinls a, (3, y soient en ligne droite;
[Appliquer le théorème de Pascal (u'^ oG«) aux points A, B, G, 0 et à Tinfini sur les axes. Ges six points doivent être sur une hyperbole d'Apollonius.]
5. Un point P décrit la normale en M à une ellipse. Soient A, B, G les pieds des trois autres normales isbues de P. Trouver les lieux du centre de gravité, de l'orthocenlre et du centre du cercle circonscrit du triangle ABG.
Soient X,, V, les coordonnées de M et .:ri ( 1+ -^ ], j, [ n- celles de P. En formant l'équation aux ac des pieds des normales, divi sant par jc — a:^ et prenant la somme des racines, on trouve l'abscisse du cenire de gravité G :
. rt" H- 6- -+- 2 À
Pour former l'équation du cercle ABG, on porte l'origine en xM dans
les équations de l'ellipse et de l'hvperbole d'Apollonius. Ces deux équations prennent la forme
X\ ^YB = o,
XA'-hYB'=o.
La conique AB' — HA' = o est une parabole d'axe parallèle à l'un des axes de coordonnées, qui passe par A, B, G. Le cercle cherché fait partie du faisceau déterminé par cette parabole et par l'ellipse; cela permet de former son équation et de trouver son centre I. lin revenan aux anciens axes, on trouve, par exemple^ pour abscisse de I :
L'abscisse de l'orthocentre est, ensuite, égale à
„.. .r. rr+ ù'*-h'/.(a--h b-)
Ôc 2 01= ' - ^^ .
Les lieux demandés se déduisent aisément de ces résultats.
G. Discuter la réalité des normales par la méthode de l'équation en ). (n° i86) appliquée à l'intersection de la conique et de lliyperbole d'Apollonius.
7. Soient A, B, G, D les pieds des normales à une ellipse issues d'un point P. Soient [jc^, y^) les coordonnées du pôle de AB et {.v^, y.2) les coordonnées du pôle de GD.
Démontrer les formules suivantes, dites formules de Desbo^es :
a:ia;.2 = —a\ j, j2 = — 6-.
Galculer les coordonnées de P en fonction de Xi, y,. {Cf. \ii, p. «98.)
8. Calculer l'équation ponctuelle entière et l'équation langentielle de la développée de l'ellipse ou de l'hyperbole.
9. La normale en M à une ellipse E rencontre O.r en A et O )■ en B. ( )ii considère le point P, qui se projette en A sur Or et en H sur Oj\ Montrer que ce point décrit une ellipse E', dont la tangente PT' est svmétrique de PC par rapport à PA, G désignant le centre de courbure de E en M.
[Utiliser les équations ( 26) et (28) du n° 332.]
10. Soit \\ le rayon de courbure d'une ellipse en M et d la distance du
centre à la tangente en M. Démontrer que le produit J\ cP denneure constant, quand M décrit l'ellipse. (E. P., 1906.)
11. On garde les notations précédentes et l'on appelle p la longueur du demi-diamètre conjugué de OM. Montrer que R f/= p^. (E. P., 1906.)
12. Enveloppe des cordes d'une conique à centre vues de ce centre sous un angle droit.
[Cercle concentrique. Utiliser la formule (33) du n" 533.]
13. Etudier les variations de l'angle de deux diamètres conjugués d'une ellipse.
li. Chercher les diamètres conjugués égaux dune ellipse.
13. Comment obtient-on les triangles d'aire maximum inscrits dai'S une ellipse? Quels sont les lieux de leurs orthocentres et des centres de leurs cercles circonscrits?
(Projections de triangles équilatéraux. Les anomalies excentriques des
sommets sont 9, oH — — j 9 H — 5-- L orthocentre a pour coordonnées
ce.
cos3o, -sin3co. Le centre de gravité est en O. Le centre du
"ia '10 '
cercle circonscrit s'en déduit.)
16. Soient une ellipse et une hyperbole homofocales rapportées à leurs axes communs et d'excentricités respectives e et e' . Montrer que les
abscisses de leurs points d intersection sont ± — •
^ ee
[Appliquer les formules (4i) et (42) du n" o3V, en écrivant que /•' — /• irz 2 a'.]
17. En Astronomie, on appelle anomalie vraie d'un point M sur une
ellipse, de foyer F et d'axe focal F.r, l'angle v =1 \\*a:, F\J/- Hémonlrer que cet angle est lié à Innomalie excentrique par la relation
tan'
tang-lang(^-
où l'on a posé cosci= -> sin courre'.
Partir de r cos v ^^ a(cos;/ — e), /• sin v ^l b sin ;/, r := a{\ — e cos u).
Puis, écrire : tang- zz^
2 I -h cosi'
