Soient les formules

(i) j:=cos«ch(', y =: sin // sh f.

Montrer que les lignes v = const. et u = const. sont des ellipses et des hyperboles homofocales. Quelles relations y a-l-il entre les paramètres v et u et les paramètres /, et À, du n^oST? Comparer les formules ci-dessus avec les formules (53) de ce numéro.

Calculer en fonction de du et di- le carré de lélément linéaire

ds- nr djc- -+- dy-

el déduire du résultat obtenu que chacune des lignes A « -i- Bf -f- C = o coupe sous un angle constant toutes les ellipses et hyperboles ci-dessus, [(/.ç-^ (ch'c — cor>- u)( du- -\- d^'^). Puis. t'Oi> n" iOO.]

19. Gardant les notations c:-ilessus, on considère les quatre points A(//o, ^o)- B(//o. (•,), C(W|, l'o). D(//,, '.',). Vérifier que les dislances AD et BC sont égales.

20. Soit une famille de cercles focaux F d'une conique C. On considère les points P et P', centres des deu\ sphères de rayon nul passant par T. Montrer que le lieu de ces points est une focale de C. ( Evident géomélriquemenl. }

21. Démontrer les réciproques des propriétés trouvées au n° o38.

22. Soient A et B deux points fixes et M un point variable d'une ellipse E. Soient OA' et OB les demi-diamètres [ arallèles à M.A et MB. Montrer que l'aire du secteur elliptique OA'B' est constante. (Evident par projection. )

23. Quel est le lieu des point- de rencontre des tangentes à une ellipse aux extrémités de deux diamètres conjugués? (E\ident par projection.)

2'i-. Démontrer le théorème de lExercice proposé ii" 13 du Chapitre XXX en considérant lelllpse comme projection d'un cercle.