I .,.,,. . , , niM

que le point Vl décrit un cercle et que le rapport — r-rr est constant,

m étant la projection de M sur Ox. En déduire que le lieu de M est une ellipse.

2H. Enveloppe des droites qui déterminent avec deux droites fixes un triangle OAB d'aire constante. Lieu du centre de gravité de ce triangle.

29. Construire Taxe transverse d^Ine hyperbole, connaissant les asymptotes et un point.

30. Soient une hyperbole éqnilatére et deux points diamétralement opposés de celte hyperbole, M et M'. Du point M comme centre, on décrit un cercle passant par M'. Montrer que ses trois autres points de rencontre avec l'hyperbole forment un triangle équilatéral. Réciproque.

(Rapporter l'hyperbole à ses asymptotes et exprimer que le centre du cercle coïncide avec le centre de gravité du triangle.)

31. Soit une hyperbole équilatère rapportée à ses asymptotes : /

i" Quelle relation doit lier les abscisses de quatre points de cette hyperbole pour qu'ils soient sur un même cercle?

2° Montrer que par deux points pris sur une même branche de l'hyperbole, on peut mener deux cercles tangents à cette courbe et que les points de contact sont diamétralement opposés.

3° Par un point M de l'hyperbole, on peut mener un seul cercle osculateur en un point P autre que M. Trouver l'enveloppe de la droite PM et montrer que le point de contact T est tel que TM =: 3TP.

32. Quel est le lieu des sommets des angles de grandeur constante \ circonscrits à une parabole?

( Hyperbole admettant les foyer et directrice de la parabole et ayant

pour excentricité

cos V

33. La condition nécessaire et suffisante pour que les normales en trois points A, B, G d'une parabole soient concourantes est que le centre de gravité du iriangle ABC soit sur l'ave de la parabole. Quel est le lieu décrit par le point de concours quand le centre de gravité est fixe?

34. TiiÉoiiÈME DE JoACHiMSTAL. — La coiidllLon tu'censaiie et suffhdntc pour que les normales ci-dessus soient concourantes, est que le cercle circonscrit au triangle P\M(Z passe au sommet de la parabole. Calculer

les coordonnées du point de concoure eu fonction de celles du centre de ce cercle.