Montrer que toute équation de la forme
où ). désigne un paramètre variable et a, 6, a', b' des constantes, représente les normales à une parabole.
Généraliser en remplaçant le coefficient de À et le terme indépendant par des premiers membres d'équations de droites rectangulaires.
37. Étant donnée une parabole, on mène du point P les tangentes FA et PB, puis les normales AQ et BQ. Calculer les coordonnées de Q en fonction de celles de P. Calculer également les coordonnées du pied C de la troisième normale issue de Q. Quel est le lieu de Q quand P décrit un diamètre de la parabole? Quel est le lieu de P quand Q décrit une droite? Quel est le lieu de P quand Q décrit la parabole? Ce dernier lieu se décompose en une droite et une cubique. Expliquer la raison de cette décomposition.
(Lorsque Q est sur la parabole, il se confond soit avec C, soit avec A ou B.j
38. Écrire l'équation de la normale à une parabole en fonction de son coefficient angulaire. Kn déduire le lien des points d'où l'on peut mener deux normales rectangulaires. Rapprocher ce résultat d'un des résultais de l'Exercice précédent.
39. Soit une parabole de foyer F. Soit C le rentre de courbure en M. Trouver le lieu de la projection de C sur ME. ( l-^. P., iqiS. )
[Parabole symétrique par rapport à F. {Cf. Chapitre \\'l\\ Exercice proposé n° '28. )]
iO. Démontrer que le cercle circonscrit à un triangle circonscrit à une parabole passe par le foyer.
[Appliquer le théorème de Simson. {Cf. Chapitre XXXII, Exercice proposé n" 10.)]
il. Par un point fixe P, on mène les tangentes à une famille de paraboles homofocales. Trouver l'enveloppe des normales aux points de contact.
[Prendre une droite D quelconque passant par P, puis le lieu A des pôles de cette droite par rapport aux paraboles, en utilisant Téquation (82) du n° oi7. La droite A est une des normales considérées (n" 316). L'enveloppe est une parabole.]
4-2. Trouver le lieu des points par où passent deux cercles focaux orthogonaux d'une parabole.
43. Que devient l'équation d'une conique à centre, quand on transporte l'origine en un sommet, l'axe des r étant la tangente en ce point? Chercher la limite de cette équation, quand le deuxième sommet de Ox s'éloigne indéfiniment, le coefficient de ./restant constant ou bien le foyer le plus rapproché de O restant fixe.
ÉTUDE DES QUADIUniES SUR LEURS ÉQUATIONS REDUITES.
EXERCICES RÉSOLUS
1. Démontrer que par les pieds des normales abaissées d' un point F sur un ellipsoïde E, on peut faire passer une infinité de quadriques Q concentriques à E. (Agrégalion i883: extrait.)
Prenons les notations du n° ooO. Soit
(i) <7,r--J- 6 )■--+- c z^ -^ 2a y z — ib zx ^ 'y.c' xy — i =r o
l'équation d'une quadrique <J. Celle-ci rencontre la cubique de Chasles en six points, dont les À sont donnés par Féqualion
(2) \a— : ^, -r- 2 Va'-Tr . ,-^/ . — : 1 = 0.
(>elte équation doit avoir mêmes racines que léquation (8) du ti° ooU. On en conclut que les fractions rationnelles qui constituent le? premiers membres de ces équations doivent êlre identiques, car elles ont mêmes pôles, mêmes zéros et même partie entière : — i . Dès lors, on doit d'abord
avoira:^^ — » h =z —•, c = —,• Puis, les résidus de (2) doivent être nuls. ABC
puisqu'il en est ainsi pour (8 ). Or, le résidu relatif au pôle / = — A est
ib'CKz^X^ IC' k\^XQV^,
En l'annulant, ainsi que les deux autres résidu-, on obtient les concfitions
A ( C — B )x,, B ( A — C )y„ C ( B — A ) s. En définitive, l'équation générale des quadriques Q est
-H 2>.[A(C - B)x,rz -t- B(A — C}y„zx -+- C(B — \)zoxy] = o.
444 CHAPITRE XXWI.
2. Soient cl, d' , d" les distances du centre d' un ellipsoïde aux plans tangents aux extrémités de trois diamètres conjugués. Démontrer
que — -^ -fTi -^ -Tjfi = const. (E. P., (QiS. )
La distancer? rie l'origine au plan langent en M(j7, y, z) est donnée par la formule
Si l'on garde les nolalions du n" oo2, on a
I I 7r-^ 'cF' ' d"-
en se servant de la formule (i4) établie au n° 552 et des formules analogues.
3. Calculer ds- = dx- + dy- -+- dz- en fonction des coordonnées elliptiques /, , Ao, A3 et de leurs difféi entielles.
Différenlions logarithniiqiiemenl les formules ('^7) du n° 555, nous obtenons
dx d},\ dlo <y/.s •
X Ah-/,, Ah-/, a -+- A3
et les formules analogues. Nous avons donc lids'=ld'/::
-h "il dl, dl
Le coefficient de dl.^d},.^ est nul, en vertu de Torlhogonalité des surfaces (Aj), (^^a). Il en est de même pour les deux autres rectangles.
Pour calculei- le coefficient H^ de «O.j, dérivons par rapport à À l'identité ( n" 555)
ÉTL'DE DES QLADRIQUES SUR LEURS ÉQUATIONS RÉOtlTES. 445
et faisons ensuiie /. =i).,. La dérivée du premier membre devient — HJ. Quant à la dérivée du second membre, elle comprend plusieurs termes. Le seul qui ne s'annule pas pour À =3 À, est celui qui provient de la déri-
vation du facteur A, — À, c'e>l-à-dire avons donc
Nous
iA -r /.,)^B-^/.,j(C^-/.,) et des formules analogues pour H; et H^. Finalement,
^,.> . . ( >-^ — >i ) ( >-3 — Ài ^ d'f] ^ (?., - À2)(À3— >2)^>a
^ (À,— /.3)(>-, — Àa)^/-^ ^ ( A + A3 ) ( B + Àj) ( C + /a ) '
+. fiant donnés an hyptrboloïde H et un point Y* ^ on demande l enveloppe des plans II passant par P et coupant H suùant une hyperbole érjuilatère.
Lepl.inll', parallèle a un plan II et mené par le centre de IJ, doit couper le cône asymptote suivant deux droites rectangulaires et réciproquement ( n" 4.6O). Lenveloppe demandée est donc un cône C déduit, par la translation OP. du cône C enveloppe des plans II'. Nous sommes ramenés à trouver ce cône G'. Soient
( -i ) u X -\- vy -^ w z^z o
les équations du cône asymptote et du plan II'. La projection des deux génératrices d'intersection sur JcOy a pour équation (n° 51 j
' X- y- \ (ux -^ <-'.>')-
ou
x'- \ Ir
y Soient //z et m'lesdeu\ lacine; de cette équation en — • Les paramétres
U-+- vni II -t- iin' directeurs des deux "énératrices sont i , /?<, et J , //? , •
Leur condition d'orthogonalilé est donc
I + mm H = o
ou
(u'-4- M'^) + mm'((T^-+ i'-) -j- uv[m + /?i' ) z= o.
En tenant compte des relations entre les coefficients et les racines de (3), cette condition s'écrit
ou, en divisant par iv-.
Telle est l'éqnation tangentielle du cône C. Son équation ponctuelle est
Le cône C est un cône du second degré, qui n'est réel que si c est plus petit que l'un au moins des deux nombres a et b.
5. Chercher la ligne de striction d'un hyperboloïde à une nappe.
Reprenons les notations du n° 556. Ecrivons que les plans (Sa) et (33) sont perpendiculaires (n°371) :
d'où nous lirons
^-\-(XU^
en posant, pour abréger l'écriture, / X 1 2 I I r
Tel est le i> du point central de la génératrice {u). En portant dans les équations (3i) du n" o5(), on obtient les équations païamélriques de la
ligne de striction des génératrices du premier système : I pu* -h 2 0. u- -h p
, pU*-h 2XU'--i- p
Celle ligne est donc une //uartique unicursnle. Elle admet 0^, 0>,
Oc pour axes de syuiélrie, connue on le voil en cliangeaul u en - ou
u en — // ou en ; mais les plans de coordonnées ni l'origine ne sont des
élémenls de syraélrie.
La ligne de striction des génératrices du second système esl symétrique de la précédente par rapport aux plans de coordonnées ou par rapport à Forigine.
Dans le cas uù a ■=. b, c'esl-a-dire lorsque VJiyperboloïde est de révolution, on a a = 3. L'équation (j) se réduit à c = — et les équations (3)
montrent que les deux lignes de striction se confondent avec le cercle de gorge.
6. D'un point P, pris sur la normale iVl.N en M à un paraboloïde elliptique, on peut mener quatre autres normales. Soient A, B, C, D leurs pieds. Former l'équation de la sphère S passant par ces quatre points. Trouver le lieu du centre l de cette sphère, quand P décrit \L\. (Concours général, i883.)
Soit
l'é([uation du paraboloïde. Soient (;, n, K) '«s coordonnées de M, liées par la relation
Soient maintenant
Pl V «7
les coordonnées du point P. Les pieds des normales issues de P sont
(3) x^=l — o, j,= rj( I -h !-j, 5o=nj+i-
donnés par les formules
