étant donné par léqnation

{p-+-Ay {</-hiy

Celte équation admet la racine 7. = p, comme il résulte de la comparaison des formules (3) et (4). On met d'ailleurs en évidence le facteur p — À, en retranchant (2) de (5), après avoir remplacé yoi -o> -^o P^i' (3). En supprimant ce fadeur, il reste l'équation aux 'k des points A, B, C, D :

Soit maintenant

( 7 ) j?- + j- - + ^- — 2 ce a- — 2 ,5 jy — 2 y ^ 4- ô =: o

l'équation de la sphère S. La cubique (/j) la coupe en six points, dont les }. sont donnés par

(8) cpa) = (x.+x)=+^^ + ^^

Cette équation doit admettre les quatre racines de (6), plus deux autres racines, que nous pouvons considérer comme les racines du trinôme À-+ a7, -\- b, a el b étant des paramètres inconnus. Dès lors, on doit avoir liilenlité

car les fractions rationnelles des deux membres ont mêmes pôles, mêmes zéros et même coefficient de X^ dans la partie entière.

Le second membre est décomposé en éléments simples. Nous allons décomposer le premier et identifier les deux décompositions.

Calculons la partie infinie relative au pôle À ^ — p. En faisant le changement de variable X 33 — p -\- [J- (t. L n° 215), on trouve

■n^ { p -\- p) (p^— ap -Jt- b) -n-j— p'-— '2-pp -h ap -h b)

pÇk-^py "^ pO^^p)

ETUDE DES QUADRIQIES SUR LEURS ÉQl ATIONS RÉDUITES. /|49

En compara Dl à 2 ©(},), on a

(10) 2p\yl = r.'l\ 4- '- 1 {/r- — ap-+- b),

(m —^ppy,= '- f-^ '■

En tenant compte de (3;, (10) s'écrit (12) h —p(^2p ~\- p -h a).

En portant dans (1 1) et tenant toujours compte de (3), il vient ensuite

( I 3 ) — 4 I/JJ ^rr Yt a.

Le pôle }.=^ — q donnerait de même, par symétrie.

En comparant (12) et (i4). on trouve

(16) r/ =r — 20 — p — q; puis

(17) b=—pq,

(iSi [3 =

(Calculons enfin la partie enlièie de f {}.){'/.'- -\- al -h b). Le premier terme de /(À) nous donne, en efifectuant le produit par }.^ -]- al -{- b , mais se limitant au ternie en À-,

rr 1^ -+- /.- ( 3 /> H- p + a ) -f- . . .

l'^n taisant ensuite la division, on a comme partie entière

Le second terme de /(À) donne de même — (À -H 0 + a) et le troisième

2/.^-f- 2a'f. -H 2b. En toiil, on a, en tenant compte de (2),

2 ç ( >. -f- p + rt ) + 2 >.^ -\- 2al -[- 2 b. tiAAG. — Exercices^ II. 29

45o CHAPITRE XXXVI.

En idenlitiant avec la parlie entière de 2cp, on a

(20) 2(.ru— oc) =r^+ «,

(21) a:l — 2a^o+ â = |(p + «) -i- ^ ou, en tenant compte de (3), (16) et (17),

Finalement, l'équaLion de S est

(24) .r- + j2^^-— (c +/>4-(7)j7 (20 — /> + 7 ) / rj y Ç 3 P 9

Lorsque 0 varie, le lieu du centre I (a, |3, y) est une droite ayant pour équations

2 rj r

EXERCICES PROPOSÉS

1. Etant donné un ellipsoïde, trouver le lieu des" sommets des cônes circonscrits ayant pour traces sur un plan principal une parabole, une hyperbole équilatère, ou un cercle.

[Evident géométriquement, en considérant la section du cône par le plan parallèle au plan sécant mené par le sommet.]

2. Lieu des points doit l'on peut mener à une quadriqueà centre trois tangentes formant un trièdre trirectangle.

[Exprimer que le cône de TExercice précédent est capable d'un trièdre trirectangle inscrit (cf. Chap. XXXI, Exercice proposé n° 1).]

3. Trouver le lieu des points S d'où l'on peut mener trois plans tangents rectangulaires (cf. n° 550), en exprimant que le cône circonscrit de sommet S est capable d'un trièdre trirectangle circonscrit.

[Former l'équalion tangentielle du cône en u, r, iv (section par le plan de l'infini; cf. n" 377) et se reporter à l'Evercice proposé n° 1 du Chapitre XXXI. ]

ETUDE DES QUADRIQUES SUR LEURS ÉQUATIONS RÉDUUrES. 45 1

i. La normale en M à une quadrique rencontre les plans principaux

€n A. B. C. -Montrer (lue les rapports ^=^, sont constants.