MC MC

o. Donner une définitioii géométrique de la cubique de Cliasles. (C/. <Jliap. XWIN . Ex^ercice lésolu n° 4.)

6. Former Téquation du cône des normales (n° ooO). Vérifier qu'elle ne cliange pas ([uand on remplace la quadrique par une quadri([ue homofocale. En déduire une définition géométrique simple de ce cône.

7. <Jue devient le [)roblème des normales issues d'un point P. quand ce point est dans le plan principal? Quel est le lieu des pieds, quand P décrit une droite de ce plan? Quel est le lieu du point P, quand les deux normales non situées dans le plan principal sont rectangulaires ou, plus généralement, font un angle constant quelconque?

8. Soient une quadrique à centre etP un point fixe de cette quadrique. On considère un triédre trirectangle quelconque de sommet P. Il perce la quadrique en trois points A, B, C. Montrer que le plan ABC passe par un point fixe Q {théorème de Frégier). Vérifier que ce point est sur la normale en P. Trouver son lieu, quand P décrit la quadri([ue.

[Former Téquation du cône ayant pour sommet P et pour base la section de la ([uadrique par un plan quelconque. Ecrire que ce cône est capable d'un triédre trirectangle inscrit; on obtient l'équation tangentielle du point Q. ]

9. Déterminer les centres de courbure piincipaux en un point P quelconque d'une quadrique à centre.

Considérer ces centres comme points focaux de la normale (n° .387). Leurs coordonnées sont de la forme xi \ -\- — \') y l i -r- irj'-^li-i — --)?

iivec

10. Soient trois demi-diamètres d'un ellipsoïde, formant un triangle trirectangle. Quelle est l'enveloppe du plan passant par leurs extrémités ?

Cf. n" .3.51 et Evercice proposé n" 12 du Chapitre XXXV.)

11. Soit un ellipsoïde E. On le coupe par un plan diamétral P quelconque. On porte les longueurs des demi-axes de l'ellipse de sec-

4J2 CHAPITRF XXWI.

tion sur le diamètre perpendiculaire à P, à partir du centre. Trouver le lieu des extrémités de ces longueurs.

[Ce lieu est une surface du quatrième degré, appelée surface d^onde de Tellipsoïde {cf. Nm, p. 206 et 480). Pour calculer les demi-axes de la section, appliquer la méthode de Gallois (n° i78), en coupant par une sphère concentrique à l'ellipsoïde. |

12. Vérifier, en se servant de l'Exercice n° 9, que les centres de courbure principaux d'un ellipsoïde en un ombilic sont confondus et calculer la valeur commune des rayons de courbure principaux. [La racine double de Tétiuation de l'Exercice n° î) est }. =:- — Z>-.]

J3. \ érifier que les ombilics d'un ellipsoïde sont les points où il est percé orlhogonalement par son'hyperbole focale. Expliquer la raison géométrique de celte propriété. En déduire le lieu des ombilics d'une famille de quadriques homofocales.

14. Toute sphère tangente à un ellipsoïde en un ombilic coupe cette surface suivant un cercle C. Calculer l'équation du plan P de ce cercle, connaissant le centre w de la sphère. Montrer que P passe par l'ombilic, lorsque o est au centre de courbure principale.

[Si .r,i, o, So sont les coordonnées de l'ombilic, celles de o^ sont

de la forme .ro ( • + "^ ) ' <». ^0 ( ^ + t^. ) ' L'équation du plan P est

œX(^ zzçf a"' 4- c- H- 2p

Lorsque w est centre de courbure, p -=■ — A^ ; l'équation ci-dessus est vérifiée pour x = x^„ z = :;„ et réciproquement.]

15. Par une droite fixe D, on mène des plans tangents à des quadriques homofocales. Lieu des normales aux points de contact. {CJ, Cliap. XXW^ Exercice proposé n° 41.)

IC. Soient deux ellipsoïdes homofocaux E et E'. Soit T un plan langent à E et T', T" les plans tangents à E' parallèles à T. Démontrer que le produit des distances de T à T' et à T" demeure constant, quand on fait varier T.

[Prendre les équations langenllelles de E et de E', en supposant

ETIDK DKS QIADRIQLES SIR LEURS ÉOtATlONS RÉDUITES. 4-*^

Le produit considéré est alors égal à

17. Etant donné un ellipsoïde, on considère les cordes telles que les normales aux extrémités soient dans un même plan. Démontrer qu'elles constituent les normales aux quadriqiies liomofocales à Tellipsoïde proposé (E. P.. if)i3). {Cf. Cbap. XXVII, Exercice proposé n" \\.)

18. Former Téquation générale des sphères bitangentes à une quadrique à centre. {Cf. Exercice iV'l.)

19. Soit un ellipsoïde E rapporté à ses axes. A tout point y,\{x.y,z), on fait correspondre le point W\x' . j', z') défini par les formules

Quelle surface décrit M' quand M décrit E ? Montrer que deux volumes homologues quelconques sont dans un rapport constant. En déduire le volume de l'ellipsoïde.

(Extension des propriétés du cercle principal de l'ellipse.)

20. Quel est le lieu du point commun aux plans tangents à un ellipsoïde aux extrémités de (rois demi-diamètres conjugués ?

21. Une droite se déplace de manière que trois de ses points A, B, C décrivent les faces d'un trièdre trirectangle. < hielle est la surface décrite par tout pciint M de cette droite invariablement lié à A. P», C ?

(Extension de la génération de l'ellipse parle procédé du n° 5i0.)'

22. Trouver le lieu des points par où Ion peut mener deux plans tangents rectangulaires à un cône du second degré.

23. Étant donnés un hyperboloïde H et une droite D, trouver les plans passant par D qui coupent H suivant une parabole ou suivant une hyperbole équilatère.

2'f. On établit une correspondance homographique entre deux génératrices de systèmes différents d'un hypeiboloïde à une nappe. Quel est le lieu de leur point de rencontre.

[Utiliser les formules \?ii) du n°556, en établissant unti relation homographique entre u et c]

25. Dans les f<jrmules (3i) du n° 556. on suppose a r^ b z^ \ ^ c- i.

454 CHAPITRli XXXVI.

On obtient ainsi les équations paramétriques d'une^sphère S de rayon .i . Vérifier que si Ton fait sur x. y, z une substitution orthogonale quelconque (t. I, n"299), il en résulte séparément sur « et sur — c une même substitution homograpliique et réciproquement. Interpréter géométriquement ce résultat (Darboux).

[Calculer u' en fonction de a et r, iî^n tenant compte des relations entre les neuf cosinus (n" 35), on vérilie que l'expression obtenue est indépendante de v et, après suppression haut et basd'un facteur commun linéaire en r, on obtient une fonction lioniograpliique de n. On fait ensuite un calcul analogue pour i'.]

2(). ()n reprend les liypotlièses précédentes. Calculer

ds- ^=. dx- 4- dy- -+- dz-

en fonction de d// et de di\ Vérifier que l'expression ol)lenue est invaliante pour toute substitution homographique effectuée simultanément sur u et sur c. Rapprocher ce résultat du précédent (Darboux),

27. Trouver le lieu des points d'un hyperboloïde à une nappe par où passent deux génératrices rectangulaires. ■

(Intersection avec la sphère de Monge. Peut s'établir avec les formules du n" 356 ou bien géométriquement.)

28. On considère la ligne de striction S des génératrices {a); {cf. Exercice résolu n°o). Montrer que chaque génératrice (t) la rencontre en trois points. En déduire que S n'est pas une biquadratique.

29. Calculer le paramètre de distrilnition des génératrices d'un hyperboloïde de révolution.

30. Calculer les équations des génératrices d'un hyperboloïde à une nappe, en prenant pour paramètre de chacune d'elles l'anomalie excentrique, sur l'ellipse de gorge, du point où elle perce le 'plan des xj . Calculer ensuite les coordonnées d'un point quelconque de la surface en fonction de n et v.

31. Trouver, sur un hyperboloïde de révolution, le lieu des points par où passent deux génératrices faisant un angle donné 9. {K. P., igiS.)

32. Étant donné un hyperboloïde à une nappe H, trouver le lieu A des projections de son centre sur ses génératrices. Montrer qu'il existe une

ÉTl DK DES QlADRIOfES SLR LEURS EQUATIONS REDUITES.

infinité d'autres hvperboloïdes H' dont la ligne de striction se déduit de A par une transformation de la forme

La ligne Aesl définie par l'équation (i) de 1 Exercice résolu n'= 5. où

l'on chanee a en -, b en —, et c en -• Les hvpeiboloïdes H' sont définis a b c "^

par la condition