Même question pour les Exercices 2V et
.37. Cherclier la ligne de striction d'un paraboloïde hyperbolique. Cas oii le paraboloïde est équilatère. ( Section par le plan
38. Montrer que le paramétre de distribution d'une génératiice située
à la (li>lance d de son plan directeur est égal a \ 7^7 H — -=-.
\pn
456 CIIAP. XXWI. — KTIDE DES QUADUIQIES SLR LEURS ÉQUATIONS RÉDUUrES.
39. Etant donné un paraboloïde l)vperl)oliqiie équilatère, trouver le lieu des points par où passent deux génératrices faisant un angle constant (E. P., igiS). Montrer que ce lieu se trouve sur un hyberboloïde de révolution à deux nappes ayant pour centre le sommet et pour axe Taxe du paraboloïde.
[Partir de l'équation j? >' := /cz.]
40. Quel est le lieu des projections d'un point fixe P sur les génératrices d'un paraboloïde hyperbolique équilatère ? (Cubique gauche.)
LES COMQIES CONSIDÉRÉES COMME COURBES LMCl RSALES ; RAPPORT ANHARMONIQUE, HOMOi.RAPIlIK.
EXERCICES RÉSOLUS
l. Déler miner les asymptotes, le centre, les axes, les sommets et les foyers de la conique
(l) JT = , V =:
Les asymptotes se délerniinenl pai- la inélhode générale du n" 230. Les
points à l'intlni sont donnés par ^ = i et / = ce .
l'onr ^ = I . .r et y sont inlinis. — = tend vers i .
^ X tit -i- i)
tend vers — 2; d'où V asyntptote
Vouv ^ :^ :>c, X ^ X, 1=2; la deuxième asymptote est
Le centre est lintersection des asymptotes; ses coordonnées sont
Les axes so:it les bissectrices des asymptotes. Leurs coefficients angu-
îaires sont lang ^ ^^ o,4i4 et — cot -^ = — 2 ,4 i-|. Leurs équations respectives sont
458 CHAPITBE XXXMI.
Parmi les sommets, deux seulement sont réels, puisque la courbe est une hyperbole, l'our reconnaître Taxe sur lequel ils se trouvent, prenons un point quelconque de la courbe, par evemple le point t=:o, dont les coordonnées sont ,r =r o, y =^ — -'. H se trouve dans l'angle aigu des asymptotes, dont la bissectrice est (4)- Celte droite est donc l'axe transverse. Elle coupe l'hyperbole en deu\ points, dont les t sont donnés par ré(|uation
3 = o,4i4(^'-26 + 4) = o,4i/,[(^-i)-^-+-3]; d'où
Les deux sommets sont donc :
1=: — 1,06; JC := 0,li8f\^ j=rO,544-
Comme vérification, ils satisfont bien à (4) et leur milieu est bien le centre (4, '*. ).
Connaissant les sommets et les asymptotes, on pourrait avoir facilement les foyers. Indiquons, cependant, le calcul direct. Soient (a, (3) les coordonnées d'un fover. Coupons l'hyperbole par la droite isotrope
L'équation aux t des points d'intersection est
~ ir- -\- t[-2 — ^ -\- c (y. — -i)] -^ \ -h '^ — i a = o.
Lcrivons qu'elle a une racine double :
\in annulant le coefficient de / et les termes réels, on obtient les équations des hyperboles focales (cf. Chap. \\XIV, Exercice résolu n° 1), dont l'intersection détermine les quatre foyers. Comme nous connaissons déjà l'axe focal, prenons seulement la première de ces hyperboles, soit
et coupons-la par (4). Si l'on pose a — 4=^45 o" obtient
ç = ±3,8i. -n^jS — 2=:o,4i4^==±i ,58.
LES COMQIF.S CONSIDÉUÉES COMME COI RBES IMCUKSAl.ES.
Finalement, les coordonnées des deux foyers sont (7,81; 3,58) et (0,19; 0,4^).
2. Soient une conique S el un point V sur celte conique. On considère
deu.r cordes MM' et NX' telles que (pM, PM'j = (Pi\, VW ) . Démontrer que les droites MN' et M'N se coupent sur la polaire du point de Fr('f:icr relatif ou point V.
Considérons les deux faisceaux homographiques obtenus en faisant
tourner l'angle MPM' autour de son sommet. Les droites PM, PM' et PN, PN' en constituent deux couples de rayons homologues. Considérons maintenant les divisions homographiques déterminées par ces faisceaux sur la conique S; M, jVP et IN, i\" en sont deux couples de points homologues. D'après le théorème 11 du n° 066, les droites MN' et M'N se coupent en un point Q situé sur la ligne des points doubles EF. Or, les rayons doubles des faisceaux ci-dessus considérés sont les droites isotropes du point 1*. Ce sont aussi les rayons doubles de rinvolution déterminée par les angles droits de sommet P. Dès lors, le point de Frégier R relatif à P se trouve à la fois sur la tangente en E et sur la tangente en V. Par suite, la droite EF est la polaire de ce point. r.. Q. V. I).
Autre démonstration. — Les angles MPM' et N'PN peuvent être considérés comme symétriques l'un de l'autre par rapport à deux droites
rectangulaires PA et PB. bissectrices communes des angles MPN'
et M'PN. Les rayons PM. \'\ et PM', P.\ sont des couples de rayons homologues de Finvolution qui admet pour rayons doubles PA et PB. Dès lors, les droites M.N', M'N, la tangente en A et la tangente en B sont quatre droites concourantes (n° 367). Leur point de concours Q esl
le pôle de AB. Mais, l'angle APB étant droit, la droite AB passe par le point de Frégier li. Par suite, Q se trouve sur la polaire de ce point ( n" 43o). <:• 0- ?• "•
lUiniarqae. — La droite EF et la tangente PT en P constituent un couple de sécantes communes à S et au cercle de rayon nul de centre P. Elles sont donc ésalenient inclinées sur les axes de S.
46o CIIAPITHK XXXVII.
EXERCICES PROPOSÉS
