LES CONIQUES CONSIDÉRÉES COMME COURBES UNICURSAI.ES

7. Gardant les nolalions de l'Exercice q° 4, f[uelle esl Tenveloppe de la corde M.M' ([uand mm' glisse sur A?

8. Trouver le lieu des sommets des angles de grandeur constante circonscrits à une parabole. [C/. Exercice proposé n° 32 d u Chapitre XXW . 11 V a Correspondance homographique entre les côtés de l'angle; les tangentes doubles sont les tangentes isotropes.]

{). L'enveloppe des cordes d'une conique S vues d'un de ses points P sous un angle constant est une autre conique S'. Montrer que toute droite passant par le point de Frégier relatif à P et à S a même pôle par rapport à S et à S'.

(S et S' sont bilangentes. le pôle de contact étant le point de Frégier.)

10. <Jn donne une ellipse E et deux droites D et D' parallèles au petit axe et équidislantes de cet axe. Une tangente variable rencontre ces droites en A et A'. Trouver le lieu du point de rencontre des deux autres tangentes issues de A et de A'. (E. P., iQiS.)

1 1. Soit une ellipse E, d'axes 0.v et Or. Soient P un point quelconque de cette ellipse et Q son point de Frégier. Démontrer les propriétés suivantes :

1° Les droites OP et 00 admettent Ox et Oy pour bissectrices;

2° Le lieu du point Q est une ellipse homothétique et concentrique à E:

3° Si l'on considère deux points P et P' de E et les points Q et ÇV correspondants, les droites PP' et QÇ)' sont également inclinées sur les axes.

Solutions anal\ti(|ue et géométrique. — Prendif, en parliculier,

comme angle droit de sommet P, l'angle formé par les parallèles aux axes. Si A et B sont les points de rencontre de la normale avec O x et O j', la ligure P<^AB reste semblable à elle-même {cf. Cliap.XXW, Exercice

proposé n° 2 ) ; on en déduit ([iie ^tt; = const.

12. On détermine une involution sur une conique par deux couples de points homologues. Construire l'homologue d'un point quelconque, ainsi (|ue les points doubles.

(S'appuyer sur le théorème \ du n" 507.)

13. Soit une conique S et une droite fixe A tangente à celte conique.

46'2 CHAP. XXXVII. — LES CONIQUES CONSIDÉRÉES COMMR COURBES UMCtiRSALES.

Sur A, on prend deux, points fixes I et J et deux points variables A et B conjugués harmoniques par rapport à IJ. Trouver le lieu du point de rencontre des tangentes à S menées par A et B. Cas oit 1 et J sont les points cycliques.

IV. On considère l'hyperbole équilatère .r y = i et les six points de cette courbe ayant pour abscisses o, a, oc, b, c, cl. Démontrer que la droite de Pascal de l'hexagone défini par ces six points a pour

équation

( by — ^) {d — a)c^= {a — b) {jc — d).

1.0. Examiner les cas particuliers des théorèmes de Pascal et de Brianchon obtenus en supposant que des sommets (ou côtés) consécutifs viennent se confondre.

IC. On donne une conique par cinq points : i, 2, 3, 4, 5. Appliquer le théorème de Pascal à la construction du deuxième point de rencontre avec une droite (juelconque lÀ passant par i. Construire également la tangente au point i .

(Pour la tangente, confondre les points 6 et 1.)

17. Quelle est l'enveloppe des cordes d'une conique vues d'un point fixe P sous un angle droit? Cas où P est un foyer de la conique. (Théorème \I du n° oGT. )

18. Quel est le lieu des sommets des angles droits circonscrits à une conique? (Tliéorème corrélatif du théorème VI du n° 567.)

19. Soient deux coniques S et S'. C)n prend un point Pj sur S; par ce point, on mène une tangente à S', qui rencontre de nouveau S en P, ; par P,, on mène une tangente à S', qui rencontre de nouveau S en P3, et ainsi de suite jusqu'au point P„.

Montrer ([ue, lorsque Y\ décrit S, la droite PjP^ enveloppe une conique F, tangente aux tangentes communes à S et à S'. Si, pour une position particulière de Pj, la droite P, P„ est tangente à S', il en est de même pour toutes les positions de \\.

[La correspondance entre l'i et P„ est biquadratique et involutive. Les (juatre points doubles sont les points de contact des tangentes communes. S'il y a un autre point double, il y en a une infinité.]