COURBES ET SURFACES DU TROISIÈME ET DU QUATRIÈME DEGRÉ

EXERCICES RÉSOLUS

1. Soient une cycli'jue S el trois cercles bitangentsCi, Cj, C^^appailenant à la même famille. D'un point M de S, on mène les tangentes à ces trois cercles; soient ti, t.^, t^ leurs longueurs. Montrer que, lorsque M décrit S, elles satisfont à une relation linéaire et homogène

(ij rt^i H- 6/0-1- c^J =r o. (Darboux.)

L'équalion générale des cercles C d'une même famille peut toujours se mettre sous la forme

où X, Y, Z désignent des premiers membres déquations de cercles fixes et À un paramètre variable. La cyclique étant l'enveloppe des cercles C, son équation s'écrit

Si l'on regarde \, \. Z comme des coordonnées homogènes, celle équation représente une conique y, enveloppe des droites (2). Or, prenons un triangle de référence formé par trois de ces droites (A,), ('•2)> O-s)- L'équation de / prend la forme (Cbap. WXIII, Exercice proposé n" 33)

(4) n^T- hs^Y^cs'r -o, avec

\'=r/.fX-^/,V + Z, (:■>) '< Y'=r/.2X-|-ÀjY + Z,

-Mais, si Ion remplace \. Y, Z par leurs expressions en fonction des

46^ cnAPiTRii XXX vm.

coordonnées x, y, X', Y' et Z' sont les preiniers membres des équations des cercles Cj, Cj, C3, de paramètres respectifs ).,, }.2' ^3- Ces premiers membres sont, d'autre part, égaux aux puissances de M(^-, y) par rapport à ces cercles, à des facteurs constants près, qu'on peut faire rentrer dans les coefficients a, 6, c de (4)- Gomme ces puissances sont égales aux carrés des tangentes issues de M. on voit que ré((uation (4 )• ([ui est une forme de l'équation de la cyclique, est la traduction analytique de la relation (1) ([u'il s'agissait de démontrer.

Remarques. — I. Cette propriété des cycliques est une généralisation de la propriété des cercles focaux d'une coni(|ue ( \\" 538).

II. Supjîosons que le cercle C3 se réduise à la droite de rinfi/ii, c'est-à-dire ({ue Z' se réduise à une constante. La relation (1) devient alors

(6) ali^ bto-h c = o.

III. Si l'on prend, pour un ou plusieurs des cercles G,, des foyers, les quantités tj deviennent les distances MF,. Dans le cas particulier où les cercles G comprennent la droite de Tinfini, si l'on prend pour Gj et G2 deux foyers F^ et Fj de la même famille, ta relation (6) devient

(7) aMVi-Jn hMF.,-^ c=zo.

La courbe est appelée ovale de Descaries.

2. Étudier la cyclique spliérique S définie par V intersection d'une sphère i et d\ine quadrique Q (Darboux).

La courbe S^est une biquadralique, caractérisée par la condition de s'appuyer en quatre points i, 2, 3, 4 sur le cercle de l'infini. Toutes les i|uadriques qui la contiennent ont mêmes plans cycliques et mêmes axes, les traces de ces plans et de ces axes sur le plan de l'infini étant les sécantes communes et les pôles doubles déduits des points de base 1,2,3, 4-

I. Gherchons les sphères bitangenles. Une telle sphère q coupe i suivant un cercle G bitangent et dont le plan I' est également bitangent. Réciproquement, tout plan bitangent coupe 2 suivant un cercle bitangent et toute sphère passant par ce cercle est bilangente. Or, les plans bitangenls se répartissent en quatre familles, les plans de chaque famille étant tangents à un des quatre cônes du faisceau ( n° 191). Soient F l'un de

COLRBKS KT felRFACES Dl TROîSllblt: ET DT QlATHlÈME DEGRÉ. 4<iJ

ces cônes et P lim de se^ plans tangents. Le lieu des centres des sphères C7 passant par l'intersection G de P et de - eU la perpendiculaire 01 à \* menée par le centre O ilei. Quand V varie en restant langent au cône F, O). décrit un cône y supplémentaire de Y.

Soient A le sonunel de ï et AG la génératrice de contact du plan P. Gelle génératrice rencontre S aux deux points de contact M, -M' avec les sphères c. La puissance de A par rapport à 7 est AM.AM'; elle est égale à la puissance de A par rapport à i. Dés lors, considérons la sphère X, de centre A et orthogonale à 1. Toutes les sphères a sont orthogonales à a.

Résumons les résultats que nous \enons d'obtenir :

// j a quatre familles de sphères rs hilangenLes à S". Dans chaque famille, le lieu des centres est un cône du second degré y, de sommet O, que nous appellerons cône déférent. En outre, les sphères g sont orthogonales à une sphère fue y., que nous appellerons sphère directrice.

Les (jualre cônes déférents sont homofocaux , car ils sont supplémentaires de cônes homocycliques ('). Les centres des (juatre sphères directrices sont les sommets du tétraèdre conjugué commun à toutes les quadriques passant par S. Si l'on considère deux d'entre eux, A, et A2, ils sont, en particulier, conjugués par rapport à i; donc, les sphères a, et y., sont orthogonales (n° 190). Autrement dit, les quatre sphères directrices sont orthogonales deux à deux.

11. Toute sphère cr passant par le cercle G, inlerseclion de 1 et de P, a une équation de la forme

Tout point [j. de i a pour puissance par rapi)orl à -7 le résultat de substitution de ses coordonnées dans >.P, c'est-à-dire une (luanlllé proportionnelle à la distance cl de ,a au plan W

Gela posé, considérons trois sphères bitangenles 7, a', a", d'une même famille et correspondant à des plans P, F', P" dillérenls. Ges plans étant tangents au cône \\ les distances de tout point y. de ce cône à ces plans

(') Leurs lrare> sur le plan de I inliiii sonl tangeiiles auv langenlcs au cercle de linfiai aux points i. 2, 3, 4. Les iraces de leurs focales sonl les ombilics déduits de ces quatre tangentes (c/. Cliap. WXIV, Ivvercicc proposé n" 19).

Haag. — Exercices, H. •^'^

466 CHAPITRE XXXVIll.

sont liées par une relation de la forme

I ) a \jd + b \fd' + c \/'d" = o,

n, (^, c élan l des coeflicienls conslanls (' ).

Si le point p. est sur S, il est à la fois sur F el sur ^. Chacune des dislances d, d' . d" peut être remplacée par la puissance de /j. par rapport à 0", o"' ou 0"", à un facteur constant près, qu'on peut faire rentrer dans a. b ou c. Dès lors, désignons par l, L\ t" les longueurs des tangentes à 0", 0"', a" issues de [j.. On a, entre ces longueurs, une relation de la forme

(p.) al + bt' -A-cL"=o.

III. Clierclions les foyers de S, c"est-à-dire les centres des sphères a de rayon nul. Ces centres sont à la fois sur le cône déférent y el sur lu sphère directrice a. Leur lieu est donc la cyclique 5, intersection de y el de a. Autrement dit, la cyclique S admet pour focales quatre cycliques, telles que s.

11 est à remarquer que S est, inversement^ une focale de s, car la relation entre les deux cônes F, y, ainsi qu'entre les deux sphères i, a, est réciproque.

3. Démontrer cjue toute surface non réglée du troisième degré possède 1- droites.

l*our qu'une droite D soit sjr une surface du troisième degré, il faut el il suffit qu'elle y ait quilre points. En exprimant ceci pour la droite la plus générale de l'espace, on obtient quatre équations algébriques entre les quatre paramètres dont dépend cette droite. Donc, en général, une surface du troisième degré possède un nombre limité de droites.

Pour évaluer ce nombre, imaginons qu'on possède une de ces droites D, 9l, pour simpliiier, supposons-la à l'infini dans le plan des.rv (-). L'équalicni de la surface est alors de la forme

( I ) ;; ( « .T- + «' j- + rt" ^ - + •:>. bys -\- 9. b' z..jc -\- -y. b" .ry ) ■+■ Ax-- -h A' r- + A" z- 4- 2 B )-:: -^ 2 B'.-.r -h '2 H"jcy -+- riC^ + !*C' j + aC":; + D -z o.

(') L"équali(Hi (i) n'est auLre que l'équation du cùne rapporLé aux plans P, P', 1'" {cf. Chap. XXXIII, HxerciGc proposé n" 33).

(-) On peut toujours se ramener à cette liypotlièse p;»r une iransfurniation homngrapliique convenable ( n° iO'i).

CULRBES ET SURFACES DU TUDlSllÎME ET UV QUATKlÈ.MK DEiiKi:. ^(17

La section par le plan P parallèle à J^Oy el de cote z comprend la droite D, et une conique C, dont l'équation est ré(|uation (i), quand on y regarde z comme constant. Ecrivons que cette conique se décoinpose :

(2)1 H"-i-0"z X' + a'z C'+Bz^ùz'

Nous obtenons une é([uation du ciii(|uième degré en z. Donc, yja/' ia droite D, passent cinq plans qui coupent chacun la surface suivant trois droites.

Prenons un queIcon([ue d'entre eux P. 11 coupe suivant trois droites D,, D2, D3, à chacune desquelles nous pouvons appliquer le résultat précédent. Noyons combien cela va nous donner de droites en tout. Si nous écartons le plan P, il reste quatre plans passant par D, et coupant chacun suivant deux droites autres que Dj. Cela nous donne 8 droites autres cpie Dj, D.,, D:j, Les plans passant par J)^ et par D:j nous donnent, de même, i6 autres droites ('). Nous avons donc, en tout, >.f\ droites nouvelles. En y ajoutant les trois premières, cela nous en f.iit 27. Il ne peut, d'ailleurs, v en avoir d'autres, car toute droite tracée sur la surface |)erce le plan P en un point qui appartient nécessairement à l'une des droites D,, Do, Dj. Finalement, le théorème est démontré.

Remarque. — Il y a, sur la surface, 1- familles de coniques, obtenues en coupant par les plans passant par une des ■}.- droites. Chacun de ces plans est bitangenl, les points de contact étant les points de rencontre de la droite et de la conique. Dans chaque famille, il y a 5 plans Iritan-

gents. Le nombre total de ces plans est -^^^^J = 45, cor chaque phin

est obtenu trois fois.

4. Toute sphère S bilan gente à un tore le coupe suivant deux cercles C el C Montrer que l'angle de ces deux cercles est constant.

Soit P un des points de rencontre de la sphère S a\ec l'a.ve du tore, l'^aisons une inversion de centre P et ayant pour puissance la puissance

C) Ces droites sonl nouvelles, car si une droite s'appujant sur D.^ avuil dojà été obtenue comme s'appuyant sur L),, elle serait dans le plan P. Ceci est toutefois en défaut, si la droite passe pac le point de rencontre O de D, et de D.^. Ce point est alors un point double et il n'y a que 21 droites (c/. Exercices proposés n"* "^O et 27). Pour être général, l'énoncé ci-dessus doit compter deux fois toute rlroile passant par un point double.

468 CIIAPITHE XXXVIll.

de P par rapport aux cercles méiiclien>. Le tore se transforme en luimême. La sphère S devient un plan bitangent et les cercles C et C les cercles de Villarceau de ce plan. L'angle des deux premiers est égal à l'angle des seconds. Or, celui-ci est évidemment constant.

Remarque. — La même propriété a lieu pour une cyciide de Dupin, car celle-ci peut se transformer en un tore par une inversion convenable. {Cf. Exercice proposé n° oV.)

EXERCICES PROPOSÉS

1. Étendre aux courbes de degré m >3 les considérations du n° 560.

, . m{m -\-Z) Montrer que les courlies de degré ni qui passent par — i

points iixes passent pir autres points lixes.

2. Soit une courbe G du quatrième degré. Une coni([ue T la coupe en huit points : i, 2. ....8. Chacune des quatre droites 12, 34, 56, 78 la coupe en deux autres points. Montrer que les huit nouveaux points ainsi obtenus sont sur une même conique. Cas où Test une droite double.

3. Les asymptotes d'une courlte du (jualrième degré coupent la courbe en huit points à distance finie situés sur une même conique.

k. Soit la cubi((ue

j:y{jc -T-yH-«) — -^-+-a — i =0.

i° Montrer que ses points à l'infini sont des points d'inflexion. 2° Chercher ses autres points dinllexion. Montrer qu'ils peuvent être définis par le système

où z doit être successivement remplacé par 1,

^•r-=3-K/(.i-3J et ^^.= 3+.r('-3J'

/désignant une racine cubique imaginaire de l'unité. A c =:= i , correspondent les points

(■'■; = — =mJ'4 = — -2) et {x-^ = —Zi,y-^ — —z^)\

COLRBEs ET SLRKACES DL" TROISIÈME ET DU QUATRIÈME DEGRÉ. \Cn)

A z^=Zi, correspondent

(a-6= — i,.>o=— -2) el {a-- = — z,, y-— — i):

Enfin, 'à z ^^ z.2^ correspondent

(■^rs = — I. 1-8 = — ;,) et I ./•;, = —;,. r,, — — i).

3" Chercher les douze droites (jui coupent la cubique suivant trois ] oints d'inflexion et vérifier toutes les propriétés de 1 Exercice proposé n° o du Chapitre IX.

4° Montrer qu'une cubique réelle n"a que trois points d'inllexion réels.

5'^ Etudier le cas particulier où a = S. Montrer (|ue la cubique possède alors un point double et seulement trois points dinflexion.

o. En adoptant les notations du 11° 570. montrer que tout point M qui divise le serment M, M, dans un rapport constant décrit une cubique circulaire à point dou]>le.

6. On donne une cubique circulaire C, de point double O et une droite D parallèle à lasvmplote de cette cubique. On mène la sécante variable O/., qui rencontre C en M et D en N. On porte OP^^MN. Le lieu de P est une cubique C analogue à C, dont on déterminera l'asymptote et le cercle générateur en fonction des mêmes éléments de C.

7. On reprend les notations du n° o70 et l'on demande de démontrer que la tangente en M à C et la tangente en M, à F rencontrent A en deux points de milieu M^.

[ Considérerla sécante voisine OM' M', M^ et appliquer au tiiangle< JMj M, la propriété de l'Exercice proposé n° 11 bis du Chapitre ^ 1.]

8. Soient une droite fixe D. un point fixe 0 sur celle droite et un point fixe A en dehors. Par .\, on mène une droite variable AÀ, qui rencontre L) en P. Sur celte droite, on porte PM = 1\M'=1^0. Le lieu des points M et M' est une strophoïde.

9. Reprendre la discussion du n° 573. en supposant que la quarti(jue admet Oj:' et Or pour axes de symétrie.

10. En adoptant les notations du n° 573. montrer «jue la condition A ^ B est nécessaire et suffisante pour que les points cycliques soient des points de rebroussement. Par une rotation des axes, on peut annuler l'un des coefficients C et D. Les déférentes sont des cercles concentriques. Il v a

en outre une famille de cercles bitangenls dont les cenlres sunl en ligne droite el qui comprend trois foyers Fj, Fj, F3. Celle famille comprend aussi la droite de l'infini, de sorte que la cyclique est une ovale de Descartes. [Cf. Exercice résolu n° 1, Remarque TH.)

li. Démontrer (|ue le triangle conjugue commun à une déférente elau cercle directeur correspondant a pour sommets les cenlres des trois autres cercles directeurs.

12. Reprendre toute la tliéorie des n"^ 571 à 575 pour une cubique circulaire.

[Prendre O )' parallèle à l'asymptote réelle. Fuis, par un cliangement d'origine, faire disparaître les termes en j:y et en y^, ce qui donne une équation de la forme

Les cercles bitangenls s'obtiennent par la méthode du n° 573. Mais il n'y a pas intérêt à garder la variable P, à cause de la dissymélrie en x, y. Tirer )' de la deuxième équation dérivée et porter dans les deux autres. i"^n écrivant que les équations en x obtenues sont des identités, on obtient

CO 2(3(/.-— ,5D) — y). -f- 2/.(>.-^+ A/. -f-C) = o;

d'où ([uatre familles. Les déférentes sont les paraboles liomofocales (3). Le cercle directeur r> est donné par (4) et a pour équation

l'our démontrer Tortljogonalilé de F),, et r-;..,, diviser au préalable (2) par À et retrancher comme au n" 573.

Enfin, on examinera, comme pour les quartiques, les cas où il y a des symétries et le cas du point double.]

F3. Les tangentes à une cycli(|ue S au\ points cycliques sont les tangentes isotropes communes aux quatre déférentes. Les foyers singuliers f n» 514) de lacyclicpiesont les foyers ordinaires des déférentes (Darboux).

[Partir de la construction des points de contact d'un cercle C bitangent (n" 277). Si l'un de ces points est l, la tangente MT en M à la déférente,

f.OLRBH? I;T SIRKACES. du TROISIEME ET Dl Ql\!Rli;.M/: DEGRE. 47.I

((iii est ijerpendiculaire à «)1, est .MI. C'est aussi la tangente en I à C, donc à S. ]

li. Pour qu'une cvclique admelte les points cycliques comme points de rebrousse naent. il faut et il suffit que les déférentes soient des cercles concentriques. ( C/. Exercice n" 10.)

l'i. Démontrer, eu s appuvant ^ur l'Exercice n- 11. ijiie >i tin cercle directeur F,, de centre Oj. a son rayon nul, les ceritre>02et O3 desdeuv autres cercles directeurs sont les pieds des bissectrices de l'angle O, du triangle qui a pour sommets O, et les points de contact des tangentes u^enées de ce point à la déférente D,. Montrer, en outre, que r2 et Dj sont tangents en O, à O, O3 et que f;. et D3 sont tangents en O, à OiOj {cf. n°o7(i).

10. Toute ovale de De-cartes à point driuble est un limaçon de Pa-cal (cf. Exercice n" 10). (^ue. donnent, dans ce cas particulier, les résultais de l'Exercice précédent ? Cas de la cardioïde.

17. On adopte les notations du n" 578. Chercher le foyer F' du limaçon situé sur 0.r et autre que Cet vérifier que. pour tout point JNI du limaçon, on a

ll.MO- :^.MF= ^"~ "' •

18. Sur l'axe Ojl- du limaçon précédent, se trouve un centre d'anallagmatie F autre que O :

1° Démontrer que tout ceicle C langent en O à Oj; coupe le limaçon en deux, points homologues M et M'.

2" Les tant'entes en M et M' au limaçon se coupent en un point T du cercle C.

.3" Le lieu de T est une cissoîde, admettant O poi-.r point de rebroussement.

I Solutions analuique et géométrique, — Le cercle directeur V de centre V et le cercle déférent D, de centre Q, sont tangents en O à O/. Lecercle C passe par le centre ^j du cercle bitangenlen Met M'. Le point T est. sur C, diamétralement opposé à w. La droite OT rencontre D eu li et la tangente à D parallèle à Ov en Ciels que OT =: CB . |

lî>. Un angle de grandeur constante se déplace de manière que ses côtés restent tangents à deux cercles. Montrer que son sommet décrit un limaçon de Pascal.

I Introduire l'angle parallèle dont les côtés passent par les centres des cercles. La droite joignant les deux sommets M et M' passe par un point fixe, pôle du limaçon; de plus, la longueur MM' est constante.]

20. Étant donnés deux points fixes F et F', le lieu des points M tels que MF.MF'zn /,- est une cyclique appelée ovale de Cassini. Etudier ses difTéreutes formes, quand on fait varier la constante /, . Montrer que ses déférentes sont deux coniques de foyers F et F' et que chaque cercle directeur est le cercle de Monge de la déférente correspondante. Sur l'axe FF', il y a deux autres fovers o et a»'. Montrer que Ton a

Mo.Mo'^ ^"mÔ',

O désignant le milieu de FF' et 2 c la distance FF'. Lorsque A = c, la courbe est une leniniscate de Bernoulli.

•li. Toute cubique circulaire à point double est une podaire de parabole et réciproquement. Dans quelles conditions cette podaire est-elleune cissoïde ou une slrophoïde ?

22. Clierclier les foyers d'une slrophoïde droite et d'une cissoïde droite.

23. On considère une cyclique sphérique S déterminée par l'intersection de la sphère ^ et d'une quadrique concentri(|ue Q, Examiner ce que deviennent, dans ce cas particulier, les résultats généraux de l'Exercice résolu n" 2. Démontrer la projjriélé suivante : Soient deux cercles bitangents C et G' de la même fiimille; d'un point M de S, on mène^ sur 2!, les arcs de grands cercles MT et MT' tangents à C en T et à C en T'; quand M décrit S, on a MT ± iMT' t= const.

[Trois des quatre cônes F sont des cylindres. Trois des cônes déférents sont les plans de symétrie de S; il en est de même des sphères directrices correspondantes. Les focales sont des cycliques planes.

Pour démontrer la propriété énoncée ci-dessus, introduire les cercles C" et C" symétriques de G et G' par rapport à O, ainsi que les sphères 7, a', 0"", 0"'" passant par ces cercles et orthogonales à i. Appli(|uer la relation (2) de TExerclce résolu n° 2 aux sphères c", o"', a'" d'une part et ct", C"', o"' d'autre part. Si o et cp' désigneiit les angles au centre correspondant

».r„ ,,r,., . CP , . a-' ,, CO

aux arcs MJ et Ml , on a : ^==2sin— > r=r2sin — , r =: 2 cos — ,

Cù' /"'r= 2 COS-i-.

COLKBIiS ET SLRlArrCS DU TROISIliMP: hT 1)1 QLATRl K.MIC OKGHK. 473

On a donc deux relations de la forme

?m - :z=rt s m r y cos -^) ces - z^ a sin -^ '- b cos^:

doii loD déduit aisément cp ± a'zz: const.

Dans le cas particulier où C et C ont des rayons nuls, on a une généralisation sphérique de la définition élémentaire de l'ellipse et de l'hyperbole. D'où le nom de coniques sphvriques donné aux cvcliques telles que S.]

2V. Transformer par inversion les propriétés des cvcli(j.ues ^pl)érique^, en prenant le pôle sur la sphère i. Montrer que si le pôle est, en même temps, un foyer de S. la tiansforniée est une o\ale de Descartes.

2."3. Clierclier les 27 droites et les 45 plans Iritangenls de la surface

2 xyz -t- J-- — y- -4-^-4-2 \^.yz 4- \ zx + i\rô.z ^ o .

I Les 27 droites sont réelles. Elles sont dans le plan de linlini et dans les plans ^ = o, 2\/2, ± i ; ^ =: ± \ji. — \Ji — i ; y = ±: i . — 2 ±: v 2.]

26. Si une surface du troisième degré passe par les axes de coordonnées, son équation est de la forme

À^jr H- v-(Bj- 4- C;) + zxl^K' X -H C';) -f- .r/(A".r + W y)

-H ayz + hzx -\~ cxy =r o.

L'origine est point double. Le cône des tangentes en ce point coupe la surface suivant 6 droites. Les 1 5 plans déterminés par ces droites associées deux à deux donnent chacun une nouvelle droite. Montrer qu'il n'v en a |ias d'autres.

[Le pian passant par O et par une droite ne passant pas par O coupe suivant une conique admettant O pour point double.]