Chercher les 21 droites de la surface

I 2 xyz -+- yz (y — 3z) -i- zx(— jx -\- oz) -h xy{ — 5 .r 4- / )

-+- yz -'r zx — xy = o.

\ érifier que les 1 5 droites qui ne passent pas par O sont telles que cliacune d'elles en rencontre 6 autres. En déduire qu'il y a 1 5 plans tiitangents ne passant pas par 0 et trouver les équations de ces plans.

J74 CHAPITRE XWVIII.

[Toutes les droites sont réelles. Les 6 droites issues de O sont les axes et les suivantes :

Chacune des i5 droites donne 6 plans tiitangenls ; mais, chaque |;lan est obtenu 6 fois.]

28. Démontrer que toute surface réglée du troisième degré est unicursale et que toute section plane d'une telle surface est unicursale.

{Cf. Chap. XXVI, Exercice proposé n° 7, en prenant une conique de la surface pour courbe unicursale.)

2i). Toute surface réglée du troisième degré possède une droite double, lieu du point double de la section par un plan (pielconque. Si on la prend pour axe des :;. réf[ualion de la surface s'écrit

0;j, O.,, 'i;, étant des polynômes homogènes de degré égal à leur indice. Tout plan passant par Os coupe la surface suivant une génératrice G. Par tout point P de Os passent deux génératrices G et G'. Les plans GPs et G'Pz décrivent deux faisceaux en involulion. Le plan GPG' coupe la surface suivant une troisième droite A, ne rencontrant pas Oz et qui reste fixe quand P varie. On fait une transformation homograpliique telle que à devienne la droite de l'infini du plan des .r/, que les plans GPs et G'Pz soient isotropes quand P est à l'infini et enfin que les plans doubles de i'involution précédente soient zOœ elzOy. Montrer que la surface devient un conoïde de Pliicker.

[La droite A est fwe, car s'il y en avait une autre A', toute droite s'appuyant sur Os, A et A' serait sur la surface, comme y ayant quatre points. La surface comprendrait une quadrique. Si A est à l'infini dans /Oj', 9:j ^ o. ]

30. Ce qui précède est en défaut, lorsque tp.> et 'J;^ ont un facteur commun. En annulant ce facteur, on obtient un plan II tangent à la surface le long de Os et que nous prenons pour sOj^. Par tout point P de Os, passe une génératrice G et une seule. Il y a correspondance Homographique entre Pet le plan sPG. Par une transformation homographique, on peut sup[)oser que le point P liomologue de II est à l'infini, i-i'équalion de la surface est alors de la forme