COURBES ET SURFACES DU TROISIEME ET DU QUATRIEME DEGRE

Le cone des directions asviuptoliques admet une génératrice inflexionnelle, non située dans ;0)', si la surface ne se décompose pas. Prendre cette génératrice pour axe des .r, le plan tangent d inilexion pour .lOy et enfin déplacer Torigine en I amenant au point P correspondant a zOjc. L'équation de la surface prend la forme réduite :

iJémonlrer que la surface pent être engendrée de la manière suivante : Un paraboloïde hyperbolique A admet 0.r et O;; pour génératrices et Oy pour diamètre. Une parabole B admet Or pour diamètre et Qy pour tangente en O. Le plan tangent à A en un point M de 0 -^^ rencontre H en \, La surface est le lieu de la droite M\, quand -M décrit O;.

ol. Démontrer que la surface

i V - ■> r ) (.r- -f- y"" ' — " ' ^/' — r- > r — l 'i rz

est engendrée pai- une droite s"appuv;int >ur • >z. ( l->. \' . . 1910.) [La droite double a pour équations : .r ^z — «, y=: z.]

3:2. Etudiei- le.^ lignes « r-con.>t. du conoïde de Pliicker f n" iiSl

33. Calculer le paramètre de distribution d'une génératrice quelconque du conoïde de Pliicker.

3'l-. Clierclier les lignes asymptotiques du conoïde de Pliicker. {C/. Chap. \X\ I. Lxércice proposé n'^ 8.)

3o. -Même question pour la surface. (2) de l'Exercice 30.

30. Tiouver le lieu des projections û'un point fixe ^-ur les génératrices du conoïde de l'iucker.

3T. Chercher les lignes d'ombre du conoïde de Pliicker. [Elles se projettent sur xOv suivant des quarliques circulaires à point triple. I

38. Toute cyclidc est coupée par une sphère suivant une cyclique.

30. Sur une cvclide, il existe lo familles de cercles. Les axes de ces cercles sont les génératrices des ô quadriques déférentes. Les plans de ces cercles, qui sont des plans bilangenls, enveloppent 5 cônes du second degré, supplémentaires des cônes asymptotiques des déférentes. Par chaque point de la cyclide passent 10 cercle» tracés sur la surface.

4"^ CHAPITHE XXXVIII.

iO. Evaminer, dans la discussion du n° o82, les cas où la cycllde admet un, deux ou trois plans de symélrie.

VI. Iîl\.aminer également le cas où Ar=A'=A". {Cf. Exercice n° 10.)