Etendre aux cvclides l'Exercice
V3, Soient À et À' deux racines de l'équation (^6) du n° 582. Soient i, D et i', D' les sphères directrices et les déférentes correspondantes. Soient A et A' les centres des sphères. Vérifier que le cùne du faisceau (i, D) qui a pour sommet A' a pour équation
i et D désignant les premiers membres des équations (4o) 6^^ (^y) du n'' 582. Le cône parallèle de sommet à l'origine a pour équation
Former de même l'équation du cône du faisceau (i', D') qui a pour sommet A. Vérifier que ces deux cônes so.nt supplémentaires.
k\. Démontrer que chacune des cinq focales d'une cyclide admet les quatre autres pour focales. {Cf. Exercice résolu n° 2.)
[S'appuyer sur l'Exercice précédent. On peut aussi envisager la développable isotrope circonscrite à la cyclide et dont les cinq focales
sont les lignes doubles.]
io. Etendre aux cyclides du troisième degré l'Exercice 12.
hOt. Chercher les cyclides qui admettent une famille de sphères inscrites.
[Les équations (45) du n° 582 doivent se réduire aune. On. trouve que la cyclide doit admettre un plan de symétrie; par exemple, B' := o. Alors 7. :zz — A". La déférente est une conique C. Les sphères inscrites passent par deux points fixes a et />, qui sont des points doubles de la cyclide. Les trois autres déférentes et sphères directrices passent par ces points. Les déférentes admettent C pour focale.]
V7. La cyclide de Dupin est la seule cyclide qui possède deux familles de sphères inscrite*.
'1-8. Montrer que la surface de l'Evercice résolu n" 6 du Chapitre XXXIli possède une famille de sphères inscrites. Chercher les déférentes et sphères directrices de cette cyclide.
COLRlîKS ET SURFACES DL TROISIEME ET hV QIATRIÈME DEl.UK. 477
'i9. Soil -M ui) point ([uelconqiie de la cyclide de Dupin du n" 58i. Soity^ sa puissance par rapport à la sphère i (n« 588). Montrer que les
M a. Mb Wa'.Wh'
(luotients et sont constant?.
50. N'érifier que les droites ab et a b' sont conjuguées par rapi^orl à 1 et que — est orthogonale au\ cercles C et C.
51. ^■éri^ler que la déférenle (55) du n° 588 admet les points a. /;, a' . h' pour ombilics.
52. làudier les propriétés particulières de la cvclide de Dupin à trois plans de symétrie, obtenue en supposant m =: o.
53. Démontrer ([ue la cyclide de Dupin est anallagmatique par rapport à tout point de l'une ou l'autre des droites ab. a' b' .
5i. <^)ue devient une cyclide de Dupin quand on la transforme par inversion, en prenant le pôle sur l'un des cercles (>, ('/ et, plus particulièrement, en l'un des quatre points doubles «, b. a', 6?
[Tore cône de révolution. — S'appuyer sur le théorème du n''585, en remarquant que F fait uu angle cou'^tanl avec (J. J
55. Démontrer, par la géométrie élémentaire, que le lieu des centres des sphères bitangentes à un tore est un hyperboloïde de révolution. (Considérer les cercles tangents aux. deux, cercles méridiens.) Les génératrices de cet hvperboloïde sont les axes des cercles de \ illarceau.
5G. Démontrer analvliquement le théorème de Villarceau, en faisant un cliangement de coordonnées amenant le plan des .vy à être bitangent.
57. Le plan bitangent au tore du n° 589 qui passe par 0/ le coupe suivant deux cercles. On fait tourner l'un d'eux de l'angle «autour de O^ et l'autre de l'angle v. Calculer, en fonction de //et i', les coordonnées des deux points de rencontre des cercles {a) et (r) ainsi obtenus. Calculer égalem.ent l'équation de la sphère S qui contient ces deux cercles. Calculer le ds- du tore en fonction de //, i', du, dv. Kn déduire que les loxodromies du tore ont pour équation' générale une équation du premier degré en //, v. {Cf. Ghap. XXV, Exercice proposé n° 9.)
[Pour plus de détails, voir un article de l'auteur dans les Noin-elles Annales de MalhéniaUqnes: mars 1907.]
58. Reprendre l'i-^xcrcice proposé n" 9 du Chapitre XII en remarquant que l'enveloppe des sphères (Uj et (U') est une cyclide de Dupii;. Reprendre aus>i l'F-xercice proposé n" 16 du même Chapitre.
CHAPITHE XWIX.
COURBES CYCLOIDALES
EXERCICES RESOLUS
1. Généraliser la théorie des roulelles^ en faisant rouler une courbe quelconque C sur une courbe quelconque C.
Traçons, dans le plan fixe de la courbe C, deux axes rectangulaires xOy el, dans le plan mobile de C. deux axes rectangulaires x' O' y' . Soient M le point de contact des deux courbes, MX la demi-tangente positive et M Y la demi-normale positive communes aux deux courbes.
Appelons (^, rj) les coordonnées de M et o Tangle polaire de MX pairapport à xOy et t', 'i\' , 9' les mêmes quantités relatives à x' O' y' . Soient (a, (3) les coordonnées d'un point P (|uelconque j^ar rapport à x' O' y' . Cherchons ses coordonnées (r, y) par rapport à .rOr.
Introduisons les coordonnées intermédiaires (X, \) par rapport aux axes XMY. On passe de xOy à XMV jtai- la translation (ç, rj) et la rota lion Q ; on a donc
(i; a- =z ^ H- X coscp — Ysincp, j nr rj + X sincp -+- \ cosa».
De même,
a = t'-i-Xco3(p' — Ysincp', |3:zr-r)'+ Xsincp'-i-Y cos<p';
d'où
X = (a — £') coscp'-H (|3 — rj') sin oj',
Y := — (a — I') sin çp' + (^ — rî) coscp'. Portant dans (i), il vient
\ .'■ - - ç -t- (a — ç') cos(cp — Cj>') — (,3 — r/) sin (cp — 9'), / y :=-ri-h (a — ;') sin (cp — cp') -h ( ;i — rj') cos(© — 9').
D'autre pari, la condilion de non-glissenienl s'exprime par
COURBES CYCLOlDALEîi.
i)ii peut, dès lors, imaginer que i, yî, o, £', rj', tp' aient été exprimés en l'onction de la seule variable s ou de tout autre paramètre /, en respectant la condition (3 ).
Si, dans les équations (2), on regarde a, 3 comme des constantes, on obtient tes équations paramétriques de la courbe Y décrite, dans le plan Jioce, par un point P quelconque invaiiablement lié au plan mobile. >■
Cherchons la tangente en P à T. A cet ellet, diiïérentions les formules (2), en tenant compte des relations (n° 19G)
4 ) r/? = ds co s o . dr, z=z ds s i n o :
il \ient, après un calcul facile,
( 5 ) da- ^= — ( J — n ) {do -- d':>').
Un aperçoit immédiatement la relation (6) (j,;)^^^(y
f/£' = ds cos 9', dfi =z ds si n o' ;
dy^{.v-c){do-do').
— r. ) dv = o.
([ui exprime que la tangente en P à F est perpendiculaire à MP ou bien encore que la normale est MP. {Cf. t. III, 11° iâ.)
Cherchons maintenant l'enveloppe d'une courbe S' invariablement liée aux axes x' O' y' . Pour définir cette courbe, il suffit d'imagint-r que y., 3 sont des fonctions données d'un paramètre b. I\ous avons alors les équations paramétriques (2) de la courbe mobile, en fonction des deux paramétres s et 6. D'après la méthode générale du \\° 279, les points limites sont donnés par
de dr à y ôj-
Oh Os ùb ()s
Mais, d'après (6), nous avons, en regardant 5 comme constant, (8) (.-5)^ + (r-r,,^ = „.
En éliminant fc=f -f- entre (-) et (8), il vient
(Js as
ou
dy. dij .
^sin(9-'^)^-^cos( =
'dh
4bo cHAi'iTm-: \xxi\.
ou. en remplaçant a- — £ et ) — rj par leurs valeurs tirées de ( ?. ),
Ceci exprime ([ue la tangente en P à S' est perpendiculaire à MF. Donc, les points de contact de S' avec son enveloppe S sont les pieds des normales abaissées de M sur S' {cf. t. III, loc. cit.).
Cherchons le rayon de courbure R de S en F. A cet effet, prenons comme paramètre 5 l'angle de O' x' avec la demi-tangente positive PT à S' el à S. jXous avons (n° 311)
(lo) dx=i\\' coi'Jd^, fl?[3 = R'sin9c/9,
\\ désignant le rayon de courbure de S'. En outre, l'équation (9) s'écrit
(il) (a — :') cos5 + (,S — rj') sin9 =^ 0.
L'angle '-!;=: \0.r, PTy est donné par la formule de Chasies :
l£nfin, le ravon de courbure cherché nous sera donné par la formule
(i3) dx =i\\co^h d'\i.
Alin de simplifier les calculs, imaginons que les axes fixes et les axes mobiles aient été choisis de telle manière que, lorsque le point de contact de S' et de S est précisément le point P actuellement considéré, O' x' y' et Oxy coïncident, O' x' étant, en outre, la demi-tangente positive en M à C et C, et O' y la demi-normale positive. Avec cette hypothèse, nous avons, tjuand le point de contact est en P,
(i4) ç i^rrj = ç'=rj'= o — 9'= o.
La formule (i3) devient alors, en tenant compte de (l'î) et de (2),
( 1 5 ) H cos 0 ( do — ch' +d9)=: d'i n- dy. — dl' ~ (3 ( do — do').
Nous avons, d'autre part, en appelant p et p' les rayons de courbure de G et de C au point M.
(lO) do^-, do'^-^4\
COURBES CVCLOIDALES.
puis
d\ = '\l'=ds.
Enfin, pour calculer db, dirtérentions (11); nous obtenons, en tenant compte de (10) et ensuile de (i4) et (17),
dB ( R' — a si n 5 -i- j5 cos 5) — ds ces ^ =: o
ou. en posant /• = MF .
(18) dQ{K'-^ r) — dscoiB.
Finalement, si Ton porte (10), (16), (17) et (18) dans (i5), il vient
i 1 (R— R)co>29
(R'4-/-)co=5 \—
co- h
0 p' ( R'-i- /j ( R — /•) ' ' VR — /• R'-i-r Introduisons les centres de courbure A. A', R, R' de S, S', C, C
Fig. 42.
