Tracer Vhypocycloïde enveloppée par la droite
i ^ 1)1 — in^
( 1 ) y = m jc H
Nous allons chercher un point d'où ion puisse mener trois tangentes formant un faisceau régulier. L'équation (i) ou
doit être de la forme
„ 3 /« — ni^
tangJo = 5 — ;-
ou
( 3 ) m^ — 3 ni' tang 3 9 — 3 m -h tang 3 9 = o.
En comparant les coefficients de rang impair dans les deux équations,
on a
(') Pour établir la première de ces formules, par exemple, on peut remarquer que si l'on prend xME pour axe des X et MP pour axe des Y, l'équation de AE est
ÂÎË "^ MA ~ ' ■
En y remplaçant X et Y par les coordonnées de B, soit MB si n 6 et MBcos6, on obtient la formule.
COURBES CYCLOÏDALES. 183
De même, en comparant les coefficients de rang pair, on a
Enfin, en comparant les deux derniers coefficients, on a
1 — Y 1 tang39= — 3x — — ^ = ■= tang( — 29'', 5).
Le centre oj de l'hypocycloïde a pour coordonnées {-■> y ) • Une de
ses tangentes de rebrou ssement a pour angle polaire 9 =r — 9^', 8. Cherchons son point de contact. On a son abscisse, en dérivant (i) par rapport à ni:
m* H- 4 ft^^ -\- im — I
en remplaçant ni par — tang(9'^,8) = — o,id5. Pour avoir r, portons cette valeur de x dans l'équation de la droite de coefficient angulaire — 0, 1.55 menée par le centre w :
)• =; 0,75 + o, i55 X 1 ,65 riz I ,01.
Avant le centre (o et un point de rebroussement, il suffit d'achever le triangle équilatéral et la construction de la courbe en résulte. Nous laissons au lecteur le soin de faire le dessin.
3. Soien l une hypocycloïde à trois rebroussements H et un point V pris sur son cercle tritangent y. De ce point, on mène les deux tangentes rectangulaires PT, PT'. Elles rencontrent y en T, T'. Soient, d'autre part, M et M' leurs points de contact. Soit enfin PT" la troisième tangente issue de P, M " son point de contact et T" son point de rencontre avec y. Démontrer les propriétés suivantes :
Les points T et T' sont les milieux de PM et PM' et P est le milieu de T"M"; PT" est perpendiculaire en T" à la droite MM', laquelle est tangente à H, a son milieu I sur y et son point de contact [x symétrique de 'ï" par rapport à\. De plus, M"T" a pour milieu P.
Il serait aisé d'établir ces propriétés par le calcul et nous conseillons au lecteur de le faire. Nous allons indiquer ici une solution géométrique.
Considérons une position quelconque du cercle roulette C et la position correspondante M du point qui décrit II (fig. 43). I^es deux cercles C et •/ sont égaux et tangents en T. Les deux triangles TO'M et TOP
sont symétriques par rapport à T; donc, T est le milieu de MP; de plus, OP est parallèle à O'M. Quand OT tourne de V angle 9, O'M tourne de l'angle — 2© ( n° 59i); donc, OP tourne aussi de l'angle — 29 (*).
Fig. 43.
Gela posé, si T vient en T' diamétralement opposé à T sur y, OT a tourné de tt; donc OP tourne de — 27r; autrement dit, P revient à la même position. La droite PT' est la tangente perpendiculaire à Pï (-); son point.de contact M' est symétrique de P par rapport à T'.
Si T vient en P, OP tourne de l'angle — 2 TOP; P vient donc au point T" symétrique de P par rapport à OT. La troisième tangente issue de P est PT"; elle est perpendiculaire à TT'. Son point de contact M" est symétrique ds; T" par rapport à P. Le segment MM' est homothétique de TT' par rapport à P et dans le rapport 2; donc, il passe par T", où il coupe PT" à angle droit. La droite MM' est la tangente à H perpendiculaire à PT". Elle rencontre y au point I homotliélique de O, donc milieu de MM'. Son point de contact M'" est ce que devient M, quand T vient en I el P en T"; il est donc symétrique de T" par rapport à L
Autre démonstration. — Voici une autre démonstration moins élémentaire.
Considérons un réseau langentiel (p) admettant pour coniques de base
( ' ) Ceci prouve que les angles polaires ç et œ' de T et de P sont liés par une relation de la forme 9'-}- 29 = const. ( C/. n" .596 et Exercice proposé n" 17.)
/^ (^) Il n'y en a pas d'autre, car, si 01' tourne de 9, la bissectrice de l'OP tourne
de = — — ; la tangente PT, qui est perpendiculaire à cette bissectrice, tourne
du monne angle. Pour qu'elle tourne de — > il faut donc que OT tourne de — tt. Nous démontrons ainsi la propriété caractéristique du cercle tritangent ( n" G04).
COURBES CVCLOÏDALES. 4^5
deux paraboles H, el ÏI^ et les points cycliques ('). Soit (R) le réseau ponctuel contravariant (-) (n° oïl).
Toule conique dégénérée de (p) se connpose d'un point P à distance finie et d'un point P' à l'infini {^). Donc, la /lessienne h comprend la droite de Tinfini, comme lieu de P', el une conique y, comme lieu de P. D'ailleurs, si P' vient en un des points cvcliques, P va à l'autre. Donc, y est un cercle.
La cayleyenne H est l'enveloppe des droites PP' (*). Comme PP' c 'ïucide deux fois avec la droite de l'infini, quand P' tend vers l'un des points cycliques, cette droite est tang^ente double et ses points de contact sont les positions limites de P', c'est-à-dire les points cycliques. Comme la cayleyenne est de troisième classe, c'est une hypocycloïde à trois rebroussements (n" 602).
Appliquons maintenant les propriétés générales établies aux n°^ 512 et 513.
Tout point P du cercle y est le point de rencontre de deux tangentes associées PT et PT' de H. Or, ces deux droites doivent être conjuguées par rapport à toute conique de (p), en particulier par rapport aux points cvcliques; elles sont donc rectangulaires. Il s'ensuit que y est le cercle tritangenl de H.
Le point P' associé à P sur la hessienne est un point à I infini. Dautre part, on sait que la tangente P 9en P à y est conjuguée harmonique de PP' par rapport aux deux droites associées PT, PT'. Il en résulte que PP' est la polaire, pai- rapport à y, du point de rencontre 5 de cette tangente avec le diamètre TT'. Donc, PP' est perpendiculaire à TT'. C'est d'ailleurs la troisième tangente à H issue de P.
On sait maintenant que, corrélativement, le troisième point de rencontre de PP' avec la hessienne, c'est-à-dire le point T" de y, est conjugué harmonique du point de contact M" par rapport à PP'. Comme P' est à l'infini, cela veut dire que P est le milieu de T"M".
On sait aussi que la droite MM' qui joint les points de contact des deux tangentes associées PT, PT' est une tangente à H, d'ailleurs associée à la iroisième tangente PT" issue de P. Fille est donc perpendiculaire en T" à PT'. Elle rencontre y au milieu de I de MM'. Si l'on fait
(') C'est le réseau des paialjolcs liomofocales à un faisceau tangentiel de paraboles.
(-) C'est le réseau des hyperboles équilatères ayant mêmes asymptotes qu'un faisceau ponctuel d'hyperboles équilatères.
(') Le point P est le foyer commun à toutes les paraboles du réseau dont l'axe passe par P'.
(*) C'esl-à-dire des axes des paraboles.
jouer à ce point le rôle du point P, IT" joue le rôle de PT", car son associée passe par T" et non par I; donc, M'" joue le rôle de M", et, par suite, est symétrique de T" par rapport à I.
Nous avons finalement démontré toutes les propriétés de l'énoncé. Voici maintenant quelques conséquences qui résultent naturellement de la considération des réseaux (p) et (R) :
I. L'enveloppe des axes des paraboles inscrites dans un triangle T est une hypocycloïde à trois rebroussements, dont le cercle tritangent constitue le lieu des foyers (').
II. L'enveloppe des asymptotes des hyperboles équilatères circonscrites à un triangle T' est une hypocycloïde à trois rebroussements, dont le cercle tritangent est le cercle des neufs points de T' ( n° 5(Jo).
EXERCICES PROPOSÉS
1. Etablir les formules (12) du n'^ 595 comme cas particulier des formules (2) de l'Exercice résolu n° 1.
2. Soit une courbe quelconque G. On prend sa symétrique G' par rapport à une de ses tangentes. Puis, on fait rouler G' sur G. Montrer que tout point P entraîné par G' décrit une courbe homothétique d'une podaire de G (évident géométriquement). Gas où G est un cercle. Cas où G est une conique et P un foyer de G'.
3. On reprend les notations précédentes et Ton considère une courbe S' invariablement liée à G'. Montrer que Tenveloppe de celte courbe est aussi une partie de l'enveloppe d'une famille de cercles admettant G pour déférente. Dans le cas où G est une conique, quelle est l'enveloppe d'un cercle S' ayant pour centre un foyer de G'?
h. On fait rouler sur Ox la courbe G définie par les équations
Trouver le lieu décrit par un point (pielconque F^ entraîné j)ar G. Gas où le point P a primitivement pour coordonnées (o, i). [Quartique unicursale. Dans le cas particulier, parabole.]
(■) Ce cercle est le cercle circonscrit au triangle T (Chap. XXXV, Exercice proposé
n» 'lO).
COURBES CVCLOÏDALKS. 487
o. Même question que précédemment, en prenant pour courbe G la chaînette y = cil ^. Montrer que tout point P de la base de la chaînette décrit une courbe dont l'équation polaire peut s'écrire
sh (p — 2<) = tangcij.
si l'on prend pour pôle le point (o, — i).
6. La normale Pi\ à une courbe F roule sans glisser sur la développée C. En déduire que si un point Q est invariablement lié à l'angle droit NPT, il décrit une courbe dont la normale passe par le centre d"e courbure M der.
7. Appliquer la construction de Savary aux épicycloïdes et hypocycloïdes, ainsi qu'à la cycloïde. Retrouver, par ce moyen, les propriétés des n°^ 597 et 607.
[En appliquant le théorème de Ménélaiis au triangle MPB' et à la transversale ACB, on retrouve tout de suite la formule (28) du n° 597. En prenant le triangle BB'(] et la transversale AMP, on trouve
BA 1 BC I — 7. m
Comme C, diamétralement opposé à P, décrit une courbe égale à la proposée, on en déduit la similitude de la développée.]
8. Pour construire une courbe cycloïdaie, il est commode d'employer les coordonnées polaires p, oj. Calculer, d'après les formules (12) du
n° .595, p^ et -jr- en fonction de|9.
Pour ^, employer la formule: 0'^ d'^ — x dy — y dx . Qn trouve que
clws . -V '1 r ^ 1 > "^
le signe de -rr est celui d'une quantité A. qui. lorsque ^ croit de o a — > ^ d^ 1 > ' m
croît de >„= ( 1 — e) (i — w 4- em) à >.!= (r+ e) (i — m — em)- Ponr discuter les différentes formes de courbes, on est ainsi conduit à faire des
hypothèses sur les signes de ').^ et de /[.
9, Pour quelle valeur de e la courbe passe-t-elle à l'origine? Calculer
p et 0) dans celte hypothèse; en déduire l'équation polaire de la courbe
p = 2 R ( I — m) cos '-
2 ni
10. Calculer l'équation qui donne les 9 des points d'inflexion.
•^'y — y'-^"— o; e-{m — i)-{-m-he{\ — 2m)cos~ =0. Le premier membre décroît de (i — e) [a?i + ^(i — m)] à {i ^ e) [m — e{i — m)] quand d croît de o à —
11. Construire, en s'aidant des Exercices précédents, les courbes cycloïdales définies par les systèmes suivants de nombres caractéristiques :
