Calculer Taire d'une boucle de courbe cycloïdale
20. Calculer l'équation tangenlielle de l'iiypocycloïde à quatre rebroussements.
21. Un triangle isoscèle OAB varie de manière que les côtés égaux OA, OB demeurent constants, le sommet O et la hauteur issue de ce point restant fixes. Quelle est l'enveloppe des deux autres hauteurs ? (Ilypocycloïde à quatie rebroussements.)
22. Soient deux paraboles focales l'une de l'autre et d'axe commun 0.r. On prend un point M sur l'une et un point M' sur l'autre. Soient I le milieu de MM' et P le plan mené par ce point perpendiculairement à MM'.
1° On assujettit MM' à être perpendiculaire à Ox. Montrer qu'elle
engendre une surface dont la ligne de slriclion se projette suryOsuivant une liypocycloïde à quatre rebroussements. Quelle est alors l'enveloppe du plan P ?
2° On assujettit le plan P à faire un angle constant avec O^. Montrer que Tarête de rebroussement de son enveloppe est une hélice tracée sur un cylindre à base hypocycloïdaie.
\^Nota. — Ouand M et M' varient d'une manière quelconque, P enveloppe une surface minima appelée su/ face crEnneper.J
23. Les jjlans tangents à un paraboloïde hyperbolique équilatère qui font 45" avec le plan tangent au sommet enveloppent, dans ce dernier, une hypocycloïde à quatre rebroussements.
24. Reprendre la démonstration du n° GU2, en montrant qu'il existe un point d'où l'on peut mener trois tangentes formant un faisceau régulier. Puis prentire ce point pour origine et l'une des tangentes pour axe des j:.
25. Construire les hypocycloïdes enveloppes des droites suivantes :
y — mx —
y =: JH X H-
26. Démontrer analytiquement les propriétés I et 11 de l'Exercice résolu n° 3.
27. Démontrer (|ue les enveloppes suivantes sont des hypocycloïdes à trois rebroussements :
1° Enveloppe des axes des paraboles circonscrites à un triangle; 2° Enveloppe des tangentes au sommet des paraboles inscrites dans un triangle ;
3° Enveloppe des droites de Simson relatives à un triangle.
28. On reprend l'Exercice proposé n" 16 du Chapitre XXXlll. Trouver l'enveloppe de l'axe de II quand D passe par un point fixe.
Ilï' -f-
2 ni -T-
ni- -H
COURBES CYCLOIDALES.
29. On reprend l'Exercice ik du même Chapitre. Trouver l'enveloppe des axes des paraboles, ainsi que de leurs tangentes au sommet.
