Les équations

a: =:i a. t -h p cos { (x) t -h 9),

définissent une cycloïde si a-+ 3-=:p-. Chercher ses rebroussemenls et ses sommets.

3i. Cliercherles points d'inflexion d'une cycloïde raccourcie et les points doubles d'une cycloïde allongée.

3o. La tangente en P à une cycloïde rencontre la tangente au sommet S en un point T. Démontrer que l'arc SM égale ^PT.

36. Une droite tourne uniformément autour d'tin point, pendant que ce point décrit uniformément une droite fixe. Montrer qu'elle enveloppe une cycloïde.

EXERCICES RÉSOLUS

1. Montrer que, par deux points A et B, on peut faire passer deux arcs de chaînette à base horizontale et de longueur donnée.

Prenons pour origine le milieu O de AB. Soient {a. b) les coordonnées de A et (-a, - b) celles de B. Soit / la longueur donnée. L'équation de la chaînette cherchée est de la forme

(i) r — j3 = wch

En écrivant qu'elle passe par A et B, nous avons les deux équations

(2) b-P.^mch'L.:^, Z> + :3=-mch^^t:^.

Nous en aurons une troisième, en écrivant que l'arc AB a, pour longueur /.

(3) ;«fsh^^^ + shli:t^W/

Nous avons trois équations à trois inconnues : a, (3, ni. La dernière ne renferme pas ,3. En ajoutant les deux premières, nous en obtenons une autre ne contenant que a et m :

(4) ■^b^m(c\/:LZ^-c\^^^^^

\ m ni

En développant les sinus et cosinus hyperboliques, les équations (3) et (4) s'écrivent

(K\ ■ . Cl Cf. l

\^) sh — ch — 7= -,

m ni •! ni

(6) shfLshiL = i.

m ni m

Eliminons a. en élevant les deux, équations au carré et retranchanl la seconde de la première :

ni m- \ 4 /

Prenons pour inconnue auxiliaire ^ =: — L équation ci-dessus s écrit,

en posant K-=: — ,

sh-^.- = K2:;'-;

d'où, en remarquant que, d'après (5), le rapport doit être positif,

(7) shs^rK^.

Si l'on coupe la courbe j' = sh^ (t. I, n° 10;)) par la droite r = Kj7, on voit que cette équation n'a pas de racines si K -< i , c'est-à-dire si /-<; 4(a- + 6") ou / ■< AB. Gela était à prévoir, puisque l'arc AB est nécessairement plus long que la corde AB. Supposons donc / >- AB, d'où K >■ 1 . L'équation (7) admet alors deux, racines opposées 5 et — z. Ayant ^. on

en déduit m = - • L'équation (6) donne ensuite , y.z bz b

(8) Sh — = — = r-.

On en déduit une seule valeur pour —, donc pour y.. Enfin, en

retranchant les équations (■-2), on a

(q) 3^ — ^ — cli3ch— ^•

Nous obtenons bien deux solutions.

On passe de l'une à l'autre, en clianj^eant z en — s, donc m en — m, y en — (Z, j3 en — ^(3. Cela revient à changer ,r en — j; et j en — y dans (r). Les deux solutions sont symétriques par rapport au milieu de AB, ce qui était évident a priori.

Remarque. — Cet exercice donne la solution du problème suivant : Trouver La position d^ équilibre d'un fil pesant, de longueur l, dont les extrémités sont attachées aux points A ef B. ( Cf. t. III, Chap. IX,

Exercice proposé n" 'i2).

2. Déterminer toutes les hélices pouvant être représentées par des équations de la forme

(i) mx — az'", pv — bzP. (É. P. ,1918.)

Nous allons écrire qu'il existe une droite OÀ, de cosinus directeurs a, {3, y, qui fait un angle constant V avec les tangentes à la courbe :

(2) cosV =

y/r/2-2/«-2^ Ijï .-ip^-i ^ ^

Une telle identité n'est possible que si la quantité sous le radical est

un carré parfait, ce qui exige que l'un des trois termes soit le double

produit des racines carrées des deux autres. Nous avons donc les trois

solutions :

J7l -+ p =:= 2, 2ab = i.

11 est facile de voir que les deux dernières solutions se déduisent de la première par une symétrie par rapport à un bissecteur. A ces symétries près, la solution la plus générale du problème est donnée par les courbes

(3) {2p — i)jc=:az-i'-\ 2py=a^zP.

Si l'on revient à l'identité (2), on voit qu'elle exige

[3= G, y = a ^ COSV = — rij

puisque a--{- (3- -h y-== i. Donc, les courbes (3) sont des hélices, dont le cylindre rectifiant a ses génératrices parallèles à la première bissectrice de zO ce et dont les tangentes font 45° ai'ec ces génératrices.

Remarque. — La courbe (3) se trouve sur le cône du second degré :

3. Soient une droite 01 de cosinus directeurs (a, [3, y) et un point A(xo, jo, Za). Trouver les équations de r hélice circulaire OX, de pas k et passant par A.

Soit P(^,,ri,5i) la projection de A sur OÀ. Appelons K la distance PA et

les cosinus directeurs de la demi-droite PA. Soient «', b' , c' les cosinus directeurs de la demi-droite PB telle que le trièdre PABX soit irirec-

laiigle et positif. On a ( n° 35)

( r„ — ;, ) 3 — ( j„ — vi ) ■/ __ ^ojS— yoy

en remaïquanl que .ri, yi, c, sont proportionnels à a, ^3, y. Cela posé, soil lin point quelconque M de Tliélice. Le vecteur 0\1 peut être considéré comme la somme géométrique du vecteur OF, d'un vecteur Rcosf porté par PA, d'un vecteur Rsin^ porté par PB et d'un vecteur kt porté par PÀ. On a donc

j:- = j7, -1- R(rt cos^ -i- a' sin ^) -H ky.t ou, en lenant compte de (1) et (2),

(3) .r=: ^-1 + (^0— ^•,)cos/-i-(;3;o— 7Jo)^^n^^-^'^^•

Si l'on remarque enfin que j^i— a(a j?o + [S/o 4- y^o)» l'équation (3) et les deux équations analogues constituent les équations demandées.

EXERCICES PROPOSÉS

1. Trouver et construire les arcs de chaînette qui ont pour longueur 6,5 et qui ont pour extrémités les points A (o, 0 ^^ B(2,5 ; 1,8).

2. Soil -M un point quelconque de la cliaiiietledu n° G09. On le projette en P sur 0.r; puis, on projette P en Q sur la normale MN. Montrer que MO=:i et PQ = arcAM. Calculer le rayon de courbure de la courbe lieu de Q. Nérifier que l'aire comprise entre la chaînette, O/, Ox et iMP égale deux fois l'aire du triangle MPQ.

3. Soient a l'arc de tractrice AP (n^ 610) et / l'ordonnée du point P. Vérifier la relation ye'=:: i.

i. Quelles sont les trajectoires orthogonales d'une famille de cercles égaux avant leurs centres en ligne droite ? {Cf. Chap. XXIV, hxercice résolu II" 2.)

5. Chercher les lignes géodésiques de la caténoïde. [Applicjuer l'équation de Clairaut (Chap. XXV, Exercice résolu n°o), en utilisant la formule (lO du n° OU.]

6. Calculer le ds^- de la pseudosphère. Monlrer que ses Joxodromies se projettent sur xOy suivant des spirales hyperboliques.

7. Chercher les géodésiques de la pseudosphère. Montrer que leurs projections sur xOy sont toutes des courbes semblables.

8. Chercher les lignes asymptotiques de la pseudosphère. [Appliquer la formule (i4) du n° 364-. On trouve c ± « =r const.]

9. Soit une spirale logarithmique, de pôle O. Soient M un de ses points et C le centre de courbure correspondant. Démontrer que l'aire balayée par le rayon vecteur depuis OM jusqu'au pôle est égale à l'aire du triangle OMC.

10. Ecrire les équations paramétriques de la spirale logarithmique, en coordonnées cartésiennes.

11. Démontrer que les hélices dont le cylindre rectifiant a pour équation yT=ic\\jc se projettent suivant des hyperboles sur le plan yOz.