GRANDEURS ORIENTÉES. PROJECTIONS
EXERCICES RESOLUS
1. Etant donnés quatre points M, A, B, C sur un axex'x^ démontrer la relation
(i) ÏÏÂ\BG + \rB\CÂ4-MG\ÂB + BC.CX.ÏB = o.
Prenons le point M pour origine des abscisses et soient a, t, c les abscisses de A, B, C. En appliquant la formule (9) du n° 10, la relation (i) s'écrit
Or, les trois premiers termes constituent le développement suivant la troisième colonne du déterminant de Vandemonde (t. I, Exercices, Chap. XXIII, Exercice résolu n" 2)
(3) Il I a a"- ||.
On sait {^loc. cit.) que ce déterminant est, d'autre part, égal à {b — a){c — «)(c — /^), c'est-à-dire au quatrième terme de (?.) changé de signe. L'identité est donc vérifiée.
Généralisation. — Au lieu de prendre M sur x' x, on peut le prendre en dehors. La rtdation (i) subsiste. En efiet, projetons INI en F sur x'x\ nous avons
mX' = \ïp' + fâ', mb' — âîf' -h pb\ mc' = mïï'+ïïc'.
En portant dans (i), nous pouvons décomposer le premier membre en deux parties. La première s'écrit
ÂTPÏBC-f-CX + ÂB)- Elle est nulle, en vertu de la formule fie Cliasles.
GRANDELRS ORIENTEES. PROJECTIONS. 5
La seconde se déduit de (i) en remplaçant M par P. Comme 1* est sur x' X. elle est nulle, d'après ce qui précède.
La relation (i) ainsi généralisée porte le nom de relation de Stewart.
2. Sur une courbe orientée fermée , on considère deux points mobiles M et i\. dont les abscisses curvilignes x et y vérifient V équation linéaire
(i) Aa.-^By-4-Cirro.
'xFp
Trouver^ sur la courbe^ un point P tel que -^^^^ :=const.
NP
Soit s Tabscibse curviligne de 1*. Si on le prend pour nouvelle origine, l'équation (i) devient (n° 12)
Si l'on choisit convenablement les déterminations de x' et r', le
.r' rapport —, doit devenir constant, sous la seule condition (2). Pour cela,
il faut et il suffit que léquation (2) n'ait pas de terme constant :
( A + B)5 ^ ( AA- -}- B/.')L ^ C = o.
Laissant de côté le cas où A -h B serait nul, on a pour abscisse du point P
^^^ ^ — X^Tb- a + b ^-
Pour avoir toutes les solutions, on doit donner toutes les valeurs entières possibles à A et A'. Mais, si Ton augmente A et A' du même entier m, s est augmenté de — mL, ce qui ne change pas le point P. En prenant /?i =3 — A', le nouveau A' est nul et Ton voit que la solution générale est encore donnée par
(^) » = -ÂTb-'tTb''-
Pour que deux valeurs de A, soient A et Aj, donnent le même point, il faut et il suffit que (A- — A, j -r-— — 0 ^^it entier. Ceci n'est pas possible
si estincommensurable. Il va,danscecas, uneinftnitédesolutions.
Si est, au contraire, éi^al à la fraction irréductible - (^ > o),
on aura seulement q solutions, obtenues en prenant, par exemple, /.• = o, I, 2, . .. (v — i).
3. Dans un plan orienté^ on donne Vaxe polaire Ox et les demidroites Oy et 0^, d'angles polaires respectifs 27° et ■249.". Sur Oy, on prend deux points A et B tels que AB = + 4^5. Sur Oz, on prend les deux points E e^ F tels que Eb^ =1 — 3,2. On construit le carré ABCD, dont le sens de parcours est celui du plan et le triangle équilatéralY^Gt. dont le sens.de parcours est im'erse de celui du plan. Calculer :
1° Les projections orthogonales des côtés et des diagonales du carré sur Ox;
2° Les projections orthogonales des côtés du triangle sur la diagonale Y^h {').
__^ — t 1° Les angles polaires des vecteurs AB, BC sont respectivement 27°
et 27° + 90°. Leur longueur commune est 4,5; leurs projections orthogonales sur Ox sont donc :
4,5 cos27°:=+ 4,01 ; '1,5 cos(:>7''-i-90°) =: — 4,5 sin27°=: — 2,04.
Les projections de CD et DA sont opposées aux précédentes, soit — 4, 01
et + 2,04. La projection de AC est la somme algébrique des projections
de AB et BC, soit + 4,oi — 2,04 =:+ i ,97. La projection de BD est la
somme algébrique des projections de BC et CD, soit — ^2.04 — 4, 01 = — 6,o5. Comme vérifications, on peut remarquer que les angles polaires
4e AC et de BP sont 27°-+- 45»= 72° et 72"-}- 90°, leur longueur commune étant 4,5 v/2 =:6,37. ^^ ^°''^ donc avoir :
-1- I ,97 z= 6,37 COS72°
et
— 6,o5 = 6,37 cos(72"+ 90°) = — 6,37 sin72°,
ce qui est bien vérifié, à 0,01 près.
2° Les îingles polaires des vecteurs EF, FG, GE sont respectivement
(') Le lecteur est prié de faire la (igiu'e.
GRANDEURS ORIENTEES. PROJECTIONS. 7
L'angle polaire de DB est 27° — 45" = — 18''. Donc, les angles de EF, FG, GE avec DB sont
62°— (—18") = 80°, — .ÎS"-^ i8° = — 4o°, — i78° + i8°r=— 160°.
Les projections demandées sont donc :
ô , 2 cos 80" = 0 , ')oS , 3 , i cos 4o° =r 2 , |6 ,
3 , 1 cos 1 60° = 3,2 cos 20° =: — 3,01.
Leur somme algébrique est nulle, couformémenl au théorème des projections.
EXERCICES PROPOSÉS
1. Les points M, A, B, G étant pris sur un ax.e, démontrer la relation
ÂTX.BCh- MB.CÂ. +MG.AB = o. {Cf. t. I, n" 319.)
2. Les points M, A, B, G, D étant pris sur un axe, démontrer les relations
Î^.CD.Îm-CÎ5.M.ÂG4-DA.ÂB.BD — ÂB.BC.GÂ = o,
MA . BG . GD ."DB - MB . CÏ) . DÂ .ÂG
+ MG .M .ÂB .lÏÏ) — MD .ÂB . BG. GÂ = o,
MÂ\ ml. CD . M — Mb' .T^ . DA . ÂG
+ MG \ DÂ .ÂB . BD — Md'.ÂB . BG . GÂ = o.
I Introduire des déterminants. {Cf. Exercice résolu n° 1 ).]
3. Étant donnés les deux points A et B, trouver, sur la droite qui les
. „ , MA AÏB ,,-,, , ,,
loint, un point M tel que -r=^ = ^=- • (G est ce qu on appelle/J'a/7a^e/-
AB MX
le segment AB en moyenne et extrême raison.)
k. Étant donnés les trois points A, B, G sur un axe, trouver un point M sur cet axe tel qu'on ait une des relations
W> .MG + MG .MA + MÂ.ÀÏB = o, ma' + MB ' + Mg' = 3 MA . MB . MG.
8 CHAPITRE II. — GRANDEIRS OniENTÉES. PROJECTIONS.
5. Etant donnés deux pcjinls A et B sur une courbe fermée orientée,
MA
trouver tous les points M pour lesquels ^::;^ a une valeur donnée m.
MB
Nombres de solutions.
6. Étant données deux demi-droites OA et OB d'angles polaires a elb,
trouver une demi-droite O À telle que \0A, O/./ = \0/., OB/. (Bissectrice.)
7. Etant données trois demi-droites OA, OÂ, O)/, d'angles polaires respectifs a, œ, o' , calculer les angles polaires des symétriques OB et OB'
de OA par rapport à O}. et O/', ainsi que VOB.OB'/. Cas où O/. et 0>/ sont perpendiculaires.
8. Soit un triangle équilatéral OAB. On oriente son périmètre dans le sens OAB et le plan dans le sens de ce périmètre. On oriente la droite
x' X qui porte OA suivant le sens de OA. Puis, sur le côté OB, on construit un carré OBCD tel que le sens de parcours OBGDO soit cielui du plan. Sur CD on construit un triangle isoscèle CED, rectangle en E, également orienté dans le sens du plan. Enfin, sur DE on construit les deux, triangles équilatéraux DEF, DEC Calculer les abscisses des projections orthogonales des pointsB, C, D, E, F, Gsuri;'x, l'origine étant en O et en supposant (JA=i.
9. Dans un plan orienté, on donne trois demi-droites OA, OB, OC.
Sachant que (oB, Ocj = a, (oC, OA j =b, (oA,OB/ =: c, trouver la relation qui existe entre les projections orthogonales x,y,z d'un vecteur (juelconque du plan sur ces demi-droites (prolongées au besoin). Même question en supposant la projection sur chaque demi-droite faite parallèlement à la suivante (ou à la précédente).
