COORDONNÉES
EXERCICES RÉSOLUS
1. Soient trois ajces reclan^uLairea ^ayz. On donne dans le plan des xy deux points Ai(a7,, ji, o) et A^ix^^y^-, o). Sur le segment A1A2; on construit un triangle éqailatéral AjAjAj tel que son périmètre, orienté par les axes, ait pour sens positif le sens A1A2A3. On fait
tourner le triangle de l'angle 5 autour du vecteur AjA,. Le point Aj
vient en \.^. Enfin, on construit .s«/- A, A., A'., un tétraèdre régulier dont le quatrième sommet A; se trow^e dans la région positive du plan o/7'e/i^e A, Ao A^, . On demande de calculer les coordonnées des points X^^ A3, A; en fonction de x^^y^.x^, y^. 5, ainsi que les coordonnées du centre de gravité du tétraèdre. On calculera enfin les cosinus directeurs des six arêtes dans V hypothèse où la longueur A, A, égale i.
Introduisons comme inconnues auxiliaires la longueur p = A,A., et l'angle polaire o du vecteur .AjAo dans le plan des xy. Ces inconnues sont liées aux données par les équations
(i) J7, — x^^= pcoio. y. 2 — y,:=psinç5,
obtenues par projection sur O^ et sur O v.
Coordonnées de A3. — On a l A, A,, A, A,/ = ^' L'anglepolaire de A, A3
est donc 9 -h ^" • Kn projetant le contour OA1A3 sur Ox et O v, nous avons
X3=Xi-i-pC0S{O -^ j j, J3=z j, -i-p sin I 9 -r
x^^ Xi-{- o[ ces Ci cos -^ — sin o sin -^ j j
Vj = y, -h p ( sin o cos ^ + cos 9 siu ^ j
lO CHAPITRE III.
OU, en tenant compte de (i),
Xg = j:-i + ( .r, — .r , ) cos -^ — ( v-^ — y , ) sin ~
J'3 — Ji-i-(.r2 — Ji)cos 7^ -+- (.ro— a',)sin-;
J?i-+-'^'-2 , . (Ti — r2)\/'^
/i + .r.. , (.r,— jr,)v/^
Coordonnées de A^. — Menons les hauteurs A3 II et A'j H {/ig. 3). Le
Fiff. 3.
vecteur HA., a pour angle polaire 9+ i" dansj^Oy. Prenons cet angle
pour longitude de HA.j. Si nous remarquons que le sens positif de rota-
tion défini par le vecteur Ai7\, dans le plau perpendiculaire AsHA'j est le
sens de H A3 vers Hz, nous pouvons prendre 9 pour latitude de HA:, (n" 3[)). Dès lors, les cosinus directeurs de HA!, sont (n° 30)
cos^' cos
cos y sm o +
;in9
ou
cosÔsincp, cos 9 cos 9, sinÔ.
Quant à la longueur HA', = HA3, elle est égale àp
COORDONNKKS.
iMifin, le point 11. milieu de AiA,, a pour coordonnées — — -
) o (n° 23). Si nous projetons afors le contour 011 A', sur les axes.
nous avons
\/3 r, . , .ri-+- Vo 0 COSySHlO, J's = ~
0 — cos'> COSO,
ou, en tenant compte de ( i),
avec (n" 161 )
+ (y. — y2)^cos9,
■ ■ 1- (.37.2 — ■^l) COS&,
sin 5,
P = \/( J?.2 — J^l )- -+- ( fi — Jl )'.
I>n faisant ^=:o, on retrouve les formules (2).
Coordonnées de A,. — Soit 1 le centre de A, A, A.j. Le vecteur lA. a pour longueur
\/-(lf)-^r
11 est perpendiculaire au plan AiA^A.. De plus, si l'on amène O:;
sur lA;, 0/ sur lAj. O .'• doit prendre la direction et le sens de AjA,,
parce que A; est dans la région positive du plan AiA^A'j (n°27). Il
s'ensuit que vIAj, IA4/ =; - dans le plan AjH^ orienté par A, A o. Si donc
l'on prend encore o poiirlongitude, on devra prendre 9 -\ — ^ pour latitude
de lAi. Les cosinus directeurs de lA^ se déduisent donc de (3) par le changement de 5 en 5 -(- -< ce qui donne
(0) sin5sînc5, — sinScoso, cos5.
il CHAPITRE III.
Enfin, les coordonnées de I, centre de gravité du triangle Ai AgA'.j sont (no^S) *
■^i+^^2 (ji — 72)v/3
cos9,
; Ji + fi ^ (.r. — .gi)v/3 I T^-^ -^ 6
p ^T- sin 7.
COSÔ,
Si nous projetons alors le contour OIA., sur les axes, nous avons
/ a^^-hJr^ (y,y,)y/3
i/|sin9(ro-
(y) \y'.= - — + ^ ^ COS0
i/-sinÔ(.r, — .r,;
.ri + .>'
(.rj — .rg) A,
-4 = p( ^sinÔ+ y/icos9).
en posant, pour simplifier l'écriture,
(S) A=z ^cos9— t /|sin9.
Coordonnées du centre de gravité. — Ce sont (n° 23) .z-, -+- X.2 -\- œ'.^ -\- x^ .l'i + J-2 H- J:'t + .74 -
i^(ri— 7^;
en posant
