Soient les plans

(P) x(i— Û)—y{i~ f-)^ '2tz=a -f-S/— yt-,

(Q) it^x -k-y — itzz=: a'-t- S'/ — y'/-,

où a, fâ. y, a', ,5', y' désignent des constantes quelconques.

1° Montrer qu'ils passent chacun par un point fixe.

2^ Calculer leur angle \ et étudier ses variations. Ktablir la formule

il^z= tang I h -^ I tan^ (

3° Montrer qu'il existe une infinité de points fixes situés chacun à une distance constante du plan (P). Même propriété pour le plan (Q).

4° Montrer que le plan (P) fait un angle constant a\ ec une certaine droite fixe; calculer cet angle. Même propriété pour le plan (Q).

3. On donne un trièdre (juelcon([ue Oxyz. On prend deux points A et A' sur Ox, deux points B et B' sur Oj^, deux points C et C sur O^ tels que Ton ait

ÔA . ÔV = ÔB . ÔF^ ÔC . OC = I .

On considère les plans ABC ou (P) et A'B'C ou'(P'), ainsi que les centres de gravité G et G' des triangles ABC, A'B'C.

1° Montrer que si les plans (P) et (P') sont parallèles, GG' passe parO et réciproquement. Déterminer le plan (P) de manière que le rapport ■ ait en outre une valeur donnée. Nombre de solutions. OG'

2° Montrer que si les plans (Pj et (P') se coupent dans un plan

fixe (II), GG' passe par un point fixe Go et réciproquement. Quelle relation existe-t-il entre (II) et Go?

'p p Déterminer (P) de manière que le rapport " ait, en outre, une

GqG'

valeur donnée k. Montrer qu'il y a huit solutions, se répartissant en quatre groupes (Pj, P2) tels que le plan (Pj) qui correspond à (Pi) soit parallèle à (Po), (P?) étant, de même, parallèle à (Pi). Montrer que les quatre segments G1G2 ont même milieu I. Lieu de I quand k varie.

3" Montrer que si le plan (II) précédent passe à l'origine, GG' a une direction fixe et réciproquement. Déterminer (P) pour que GG' ait, en outre, une longueur constante. Montrer qu'il y a encore huit solutions jouissant des mêmes propriétés que dans 2".

k. Soit un quadrilatère A1A2A3A4, défini par les coordonnées de ses sommets. Vérifier analyliquement que les plans perpendiculaires au milieu des côtés sont concourants.

5. Reprendre l'Exercice résolu n° 3 en supposant l'angle A, Aj A4 droit. On prendra l'origine en Ai, O^ suivant AiAj, Oy suivant AiA4 et

Oz perpendiculaire.

6. Reprendre l'Exercice résolu n° 3, en menant le plan P/ perpendiculaire à A/A/^.1. Montrer, en particulier, que la condition de rencontre, quand Mj n'est pas au milieu de AjAg, est que la somme des carrés des côtés soit nulle.

7. Reprendre l'Exercice résolu n°3, en remplaçant Pj parM,A3A4, etc. [On exprimera les coefficients des plans au moyen des mineurs du

déterminant 1| xi ji Zi i |1 . On observera que la somme des mineurs relatifs à une même colonne est nulle ou égale à 6\ .]