CHAPITRE VII. — LE PLAN ET LA DROITE DANS L ESPACE
M2( — 2, I. o) et sur la droite D' qui a pour équations
a; -\- y -\- :z =^ \ , ix — y — •5:; = o.
29. Déterminer la perpendiculaire commune aux deux droites précédentes, ainsi que leur plus courte distance.
30. Même question en remplaçant la droite D par la suivante :
31. Equations paramélriques d'un plan. — i° Le plan est donné par un de ses points Mq et par les cosinus directeurs (rt, b, c) et («', b\ c') de deux droites Mo?^ et Moj^ issues de ce point dans le plan.
2° Le plan est donné par trois points Mq, Mi, M2. Généraliser les formules obtenues.
[Dans le premier cas, prendre pour paramètres u et v les composantes
de MoM suivant Mo>^ et Mqjul.
Dans le second cas, considérer M comme le centre des distances proportionnelles des points Mq, M,, Mj affectés des coefficients u, r, w. On généralise en prenant pour .r, y, z trois fonctions homographiques de u, V, ayant le même dénominateur.]
1. Étant donnés un quadrilatère gauche ABCD, trois nombres fixes m, n, p et un nombre variable}., on construit les points a, b, c, d sur AB, BC, CD, DA tels que
"Brt . JÂ — - JZZ — ^' ££ — -
— ,n^/., =— '^ ' ]Jx~'^ ' DC~'^
— >- — >- Prouver que la somme géométrique ac -H bd demeure constante.
On a les égalités géométriques
oJ — aî-i-BC-t-Cc, bd=:bB + Bk + kd. Or,
oB = ÂB (m -f- À), Ce = CD -h De = CD (i - /> -i- À),
S = (X — n)BC, Aaf = AD + D^= AD (i — «-/.): d'où
ac+ bd=zAB{m -+-/ — i) -^ BC (i -h >. — n)
-^cb{i — p^'/.)^'DP^{n~i^l).
Le coefficient de l est AB + BC + CD -h DA = o. La somme géométrique considérée est donc bien constante.
2. Soient n points fixes Ai, A,, . . . , A„ affectés des coefficients mj, mj, . . .', /w«. Étudier comment varie, avec le point M, la somme
S = tn^. MÂJ 4- nu . MÂ Î ^ . . . + m„ . MA,',. Comparons les \aleurs de S pour deux points différents M et M'. A cet
8o CHAPITRE VIII.
effet, écrivons l'égalité géométrique
(i) MA,.= MM'+]NrA,.
Faisons les produits scalaires des deux membres par eux-mêmes; il vient, eu égard à l'associa ti vite (n** 104),
( o. ) MA, = M M' + M'A, + 2 M M' . M'A,.
Multiplions par mi et ajoutons toutes les égalités analogues :
(3) S = MM''.im,+ S'+2MM'.[2m,.M'AjJ.
Si m ^r^ ^nii^ o, nous simplifierons le second membre, en prenant M' au centre A des distances proportionnelles, puisque ce point est caractérisé par l'égalité géométrique (n° 23) :
(4) i;///,.âa;=o.
Si l'on pose So=— ^«/AA/ , l'égalité (3) devient
(5) S = /».MÂ'^So.
On voit que S ne renferme plus qu'une quantité variable MA. Ses variations sont donc évidentes. Le lieu des points pour lesquels S a une valeur donnée est une sphère de centre A ( ' ).
Examinons maintenant le cas particulier oii im^■=o.
La formule (3) devient
( 6 ) S = S' + 2 MW [l nti . M'ï] .
D'autre part, il est facile de montrer que i/«/. M' Ki est un vecteur
constant V. En effet, de (i) on déduit
im,.MX, — i w,.^Ta, = MW.lmi= o.
On a donc
(7) s = S'+2MTr.'v.
Siy n'est pas nul, on voit, en supposant que M' reste fixe, que S est
( ' ) La formule (5) a, en somme, clé élablie au n" 184 du Tome I, à propos des moments d'inertie.
une fonction linéaire de la projection de MM' >ur \ ou, ce qui revient au même, dv la distance algébrique de M au plan ])erpendiculaiie
à V mené par M . Le lieu des points pour lesquels S a une valeur
donnée est un plan II perpendiculaire à V. En particulier, si IIq désigne le plan correspondant à S = o. on voil(|ue la valeur deS en un point quelconque M est égale au produit par >.\ de la distance algébrique de M à Ho, distance comptée positivement suivant le vecteur \ . Dans le cas particulier où V ^ o, la somme S est constante.
3. On considère la droite D définie par les équations (i) ux -h r V + wz -^ r ^ o. u' x -t- v' y -^ w' y — /':= o.
Calculer les six coordonnées d' un vecteur V porté par cette droite et ayant pour longueur o.
Commençons par calculer les coordonnées pliickériennes de D. Four cela, nous formons les équations de ses piojections sur les plans de coordonnées ( n" 111). En éliminant ^r entre les é((uations (i), nous obtenons la projection sur j(>c :
y{u\' — uv') — z ( iv' u — w u' ) =: r' u — r u.
On a deux é([uation> analogues [)ar ])ermutatioiis circulaires. En comparant avec les équations i 2 i ) du n° 111, on voit (jue Ion }»eut prendre
(2) X=^IVV' — ÇW', j3 =:««•' — (ï'm', y ^ {' u' — uf';
(3) Izr^ur' — u' r, m =: r r' — v'r, n = ixr' — w'r.
Les coordonnées du vecteur V sont proportionnelles à ces quantités. Si X désigne le facteur de proportionnalité, on doit avoir
D'où À r= ' le double signe correspondant aux deux sens
(ju'on peut donner à V sur la droite D.
k. Étant donné un système S de vecteurs, de coordonnées X, Y, Z, L, M, N. on prend son moment résultant MK par rapport au point M. Quand M décrit une droite D. K décrit une droite D'.
Haag. — Exercices, II. '»
i" Calculer les coordonnées pliickériennes a', jS', y', l' , tn' , n' de D' en fonction des coordonnées pliickériennes a, j3, y, /, m, n de D.
2" Quelle relation doit exister entre ces dernières pour que D et D' soient dans un même plan II ?
Si œ. y^ z sont les coordonnées du point M, celles de K sont (n** 108)
; A-'=^ + L — yZ + sY,
Avant de faire aucun calcul, on peut remarquer que ces formules définissent une transformation homograplii(|ue (n" 401). Donc, si M décrit une droite D, K décrit certainement une droite D'.
1" Si M décrit D, ses coordonnées sont de la forme {n°95) jz^'o+pa, j'o+pjS, ^o+p"/- En portant dans (i), on obtient des expressions de la forme ^0 + p(a — j3Z + yY), .... On en conclut que K décrit une droite D', dont les paramètres directeurs sont
(2) a'=a~;3Z + yY, (3'= (3 - yX + aZ, y'=y-aY + |3X. Nous avons ensuite
l'=y'-l'-z'^'= (j + M -X + ^Z)(y-aY+^X) -(:; + N -.2^y KyX)(P-yX + aZ).
Ceci doit pouvoir s'exprimer en fonction de a, ji, y et des quantités /, //t, n liées à œ, y^ z par
(3) ^ = jy — -^iS, m=^ za — xy, n=z œ'^ — va.
Il doit d'ailleurs en être ainsi quels que soient X, Y, Z, L, M, N ; donc, ordonnons /' par rappoit à ces quantités. Le calcul ne présente aucune difficulté et, en tenant compte de (3), conduit à la formule
(4) /'=:M(y-aY + [3X)-N(P-yX + aZ)
+ / + Y/i — Zm -H IX-' 4- mXY + nXZ.
Le coefficient de a est — (MY-h\Z). Si nous introduisons Vinvarianl {cf. Exercice [)roposé n" 41)
(5) ' i> = LX-+-MY + NZ,
ce coefficii-nt .s'écrit LX — 12. F.n portant dans (4 ) et prenant tous les
termes qui contiennent \. on constate qu'ils s'écrivent XDR, en introduisant le moment de S par rapport à D, soit
(6) Oro^La— M^^^y — Xl — Ym-^Zn.
Dès lors, la formule (4) prend une forme assez simple; par permutations circulaires, on obtient, en définitive,
l /'zr= — Oa — N .5 -^ My -r- L —Zm + Yn h- X31L,
(7) I m'=3 — i2,S — Ly +i\a + 7?i — X/n- Zl -^YOIL, [ n' = —9.y — Ma 4- L,3 ^n — Y/ ^ Km — ZOIV.
Les formules (2), (7) répondent à la première question.
2° Pour ({ue D et D' soient dans un même plan, il faut et 11 suffit que l'on ait ( ' )
(8) la' -^ m^' -^ «-/'-!- xi' — j3//i'-j- y n' ^ o.
Calculons le premier membre, en remplaçant les a, ^'. . . . , n' par (2) et (7). On a d'abord, en se souvenant que
(9) ly. — /n2> -^ ny z= o, l(x''^?n^'^ny'=\\ l X a |1 .
Fuis
a/'^(3m'-^7/î' = — i2(a-^;32^y^)^ il a X l\\ — Drt(aX^3Y-f-yZ).
Portant dans (8) et remarquant ([iie les deu\ déterminants se déti'uisent. on obtient la relation demandée sous la forme très simple
(10) .m(aX^(3Y — yZ).— £>(a^^-(i2-i--/2) — o.
Elle est homogène et du second degré en a, 5., ..., }i\ elle définit donc un complexe du second ordre (n'^ 39i-).
o. 1" Etant donnés un vecteur \ de coordonnées X, Y, Z, L, M, N et une droite A. de coordonnées pluckériennes cf., 3, y, /, m, n. déterminer un vecteur Y' formant avec V un système admettant ^ pour axe central et un pas donné h.
■.2" Y et A restant fixes, trouver le lieu de V quand h varie.
{') Leur monienl relatif ( n" 11!]) doit être nul.
I** Le système V, V doit être équivalent à un torseur, dont le vecteur Ra pour directrice A et dont le couple K a pour axe AR. Supposant les coordonnées a, j3, ... unitaires, appelons p la mesure algébrique inconnue de R. Les coordonnées de ce vecteur sont
pa, p[3, py, ûl, pni, pn.
Celles du couple K sont
G, o. o, hpy., /'pj3, /'py.
Celles de V sont, par suite,
i' X'=pa-X, Y'=p{3 — Y, Z'=:py-Z, (i) J L'=p(l+ ha)-h, M'=p{7n + hQ)-M,
l N'— p(« + /iy) — N.
Ecrivons qu'elles satisfont à la relation fondamentale
S(pa — X) [p(/4-/ia) — L] = o p'-h - p[y.]. + [3M + yN + /X -+- niY + «Z + /^aX -!- i3Y + yZ)] = o,
en tenant compte des relations
a-— (3-+y-=i, la-h ni^ -h ny =zo, LX + MY + NZ=:o.
On tire de là
, , ^. ^^,. ., aL + [3M + yN + /X + mY + /iZ (2) p^a\-f-(3\ +yZ- "^ ^- j^
Portant dans (i), on aurait les coordonnées du vecteur ^' .
2° Prenons A ])0ur axe des z, la perpendiculaire commune à A el Y pour axe des .r. Nous avons alors
a Z-. 3 = o, y =^ " ' /=/??= n = o ; X =: o , L = o. La formule {■>.) devient
Portant dans (i), il vient
X'riro, Y'zr:— Y, 7/=:^, \/=0, M'=— M, N'=Z/l,
Les équations des plans projetant la droite portant V sont (n" 110)
L'élimination de h entre les deux dernières conduit à la relation fondamenlale MY + NZ=o, supposée naturellement vérifiée. L'élimination de h entre les deux premières nous donne, au contraire, le heu demandé
(3) y^\^zxY = o.
Cette équation ve^véitrMt un paraboloïde hyperbolique équilatère (n° 562), d'axe O/, de sommet O, de plans directeurs xOy et jO;.
Solution géométrique. - Toute droite s'appuyant sur A et lui étant perpendiculaire est visiblement de moment nul. Si une telle droite D s'appuie en même temps sur V, elle aura un moment nul par rapport à V -I- V et à V, donc à V, qu'elle devra rencontrer. Dès lors, \' doit s'appuyer sur toutes les droites D, en nombre infini, qui rencontrent à la fois V et A et sont perpendiculaires à A. La surface engendrée par la directrice de V est donc le paraboloïde hyperbolique équilatère engendré par les droites D.
