Vecteur du torseur

Couple du torseur :

Projections de Taxe central (n° 123) :

3" Le vecteur de réduction est le vecteur R ci-dessus. L'axe du couple de réduction a pour composantes (n" 114) :

M'=— 18, 5i — 2 X 9.49 — II .70 = 49'2; X'r=— 17. 17 — 6,96 -h 6 X 9.49 = 32,8.

On peut vérifier que

L X — M'Y + N'Z = LX -^ M Y — NZ = — 125.

4" Si Ion applique les formules de l'exercice n" 3, on peut prendre pour coordoanées plackériennes de la droite donnée :

/ = — 3x7-^4=— 17, ra = 5 X 7 — 4 X 2 = 27,

Les coordonnées de nos deux vecteurs sont de la forme :

24p, i4p, — p, — i-p, 270, — 3up;

En écrivant que celles de la seconde ligne satisfont à la relation fondamentale, nous avons, pour déterminer p,

+ (— II ,70 + p) (— 17. 17 + Sop) :=0.

Le coefficient de p- est nul, comme on doit s'v attendre (n° 12i); il reste finalement Téquation du premier degré

22op — 125 = G ; d'où

En portant dans les expressions ci-dessus, on obtient les coordonnées des deux vecteurs demandés :

Premier vecteur :

Deuriènie vecteur :

— 4?i5, — 14,91, — II. i3, — II, II, 3.10, — ^o.iS.

On peut vérifier qu'elles satisfont bien à la relation fondamentale.

EXERCICES PROPOSÉS

1. ICtant donné un tétraèdre quelconque, comparer les sommes et difi'érences géométriques auxquelles donnent naissance les trois couples d'arêtes opposées.

2. Prouver que les quatre vecteurs qui ont pour origines les sommets d'un tétraèdre t!t pour extrémités les centres de gravité des faces opposées ont une somme géométiique nulle.

3. Soient un tétraèdre AHClJ; E, F, Il les milieux de AB, AC, AD; E', F', H' les milieux de CD, DB, BC et enfin G le centre de gravité du

tétraèdre. Démontrer l'égalité géométrique

ëe^+Tf' + HH' = 2 ^G.

Tpartir de Ëi?= EA + AC -i- CK' = — ^ AB ^ ÂC ^ ^ CD.J

k. Soient deux droites fixes D et D . On prend, sur D, deux points variables A et B ayant un milieu fixe et, sur D', deux autres points variables A' et B', de milieu également fixe. Montrer que la somme eéométriaue AA'— BB' est constante. Généraliser, en su^^posant qu'il

existe deux points fixes 1 et 1 '. sur D et D , tels que -==r = ^=- = const.

Ib 1 B

[partir de ÂA'= AI ^U' ~Vl\ BB'= BI + H'-^ FB'.J

5. Étant donnés n points A,, A2. . • -, A„, afTeclés des coefficients m,. nu, . . ., /n„, étudier comment varie, avec le point M, le vecteur

nii . M Al -^ /n.2 . MA, -1- ... -h m,, ■ MA^. {Cf. Exercice résolu n" 2.)

6. Effectuer les carrés scalaires de Y -f- V et V -^ V. En déduire les identités

Appliquer ceci, en prenant pour V et V les deux côtés AB, AC d'un triangle. Que donne en particulier l'identité (i) ? (Théorème de la

médiane.) Que donne l'identité (2) si l'on prend pour V la médiane AA'

et pour V le demi-côté A'B ?

7. Étant donnés quatre points quelcon([ues de l'espace A, B, C, M, démontrer l'identité

MA .BC + Jkîfe .CA 4- MC . AB =r o.

[C/. Chapitre II, Exercice proposé n" 1. — On a, par exemple, BC = MC — MB.\

Que peut-on en déduire si l'on prend M à l'intersection de deux hauteurs du triangle ABC ?

8. Etant donné un triangle ABC, on appelle A', B', C les milieux de BC, CA, AB et G le centre de gravité. Soit, d'autre part, M un point quelconque de l'espace. Démontrer que l'on a

(i) 2\fA.MA' + ilB.M^ = 3MG' — ^""^^""+"^'

el les deux égalités analogues, en appelant a, b, c les longueurs des côtés BC, CA, AB.

En déduire que les six sphères décrites sur les côtés et les médianes comme diamètre ont deux points communs. En déduire également le théorème suivantde Géométrie plane :

Par l'orthocentre d'un triangle, on mène la perpendiculaire à une médiane et l'on prend ses deux points de rencontre avec le cercle décrit sur le côté opposé à la médiane comme diamètre. Les six points obtenus, de cette manière, en considérant successivement les trois médianes, sont sur un même cercle ayant son centre au centre de gravité.

[Pour établir (r), faire le carré scalaire de MA + MB + MC, en s'appuvant sur l'Exercice proposé n" 5 et sur l'Exercice résolu n° 2. Si M est un point commun aux trois sphères (BC), (CA) et (AA'), on

a MB.m15 = MC.MA=:M^.MA' = o, puisque les angles BMC, CMA, AMA' sont droits. En se servant de la relation (i) et de

^f^'^ -(m"b + mc),

on trouve aisément que M appartient aux trois autres sphères. On a, en

— ^2 ai -\- b^ -h c- ^ outre, MG = • Cette relation est d'ailleurs vérifiée pour

tous les points d'intersection des sphères (BC) et (AA') par exemple. Si l'on prend ceux de ces points qui sont dans le plan du triangle, on

obtient le deuxième théorème.]

-->■ ~v 9. Soient deux vecteurs U et V fonctions d'une même variable t.

Démontrer la formule suivante :

^/(u.v)-^^"v ^dV

di. ~ di. ^ di' Généraliser.

10. Produit vectoriel. — Etant donnés deux vecteurs libres Ui et Uj, donnons-leur une même origine O, d'ailleurs quelconque. Soient

alors U, et Lj leurs extrémités. On appelle /to^m/^ vectoriel U, x Uj le

moment Uj U,, O, considéré comme vecteur libre.

Si l'on oriente les plans parallèles aux deux vecteurs au moyen d'un

certain axe A, montrer que Uj X Uj est un vecteur parallèle à A, avant pour mesure algébrique sur cet axe Ui.Uasinô, B désignant langle

Si l'on oriente le périmètre du triangle OUjU, dans le sens défini par OUi, les trois côtés de ce triangle forment un système équivalent à un couple, dont l'axe est le produit U, x La-

Calculer les composantes du produit Ui x U2 en fonction des composantes de Ui et des composantes de Uj.

Démontrer les identités suivantes :

U,xU,=-U,xU,; U,x(U2-U3) = U,x U0-U1XU3;

autrement dit, l'opération n''est pas comniutative : mais, elle est dlstrihutive.

11, Démontrer l'identité de Lagrange (t. I, no 285) en calculant la.

longueur du moment OK = MV,0.

[Ôk' — ÔM \ MV l sinV9 = ÔM \¥V ' - (OM . \rS )'] "

li bis. Soient OK = xMV,0 et OK'=MV',0. Démontrer la formule

(ij ÔK.ôk'=ô^î^(M\^^H')-(MO.M^0•(MO.Mv^

(2) OK.OK'=Ôm'.MV.MY'(coso — cos9cos9'),

[Pour démontrer (i),2faire le carré scalaire de OK"=: OK -h OK', en

s'appuyant sur rExercice 11, sur le théorème de Varignon et sur la distributivité du produit scalaire. On peut aussi multiplier les deux matrices {cf. t. I, Chap. XXIII, Exercice proposé n° 14) :