Un vecteur est porté par la droite d'équations

X — 2y -h z -]-i-= o, 3x—y—z^2=ia.

Il a pour longueur \ et fait un angle aigu avec la partie positive de Oz. Calculer ses six coordonnées, les projections sur les axes de son moment par rapport au point (i, — 2, i ) et son moment par rapport à la droite qui a pour équations

et dont la direction positive fait un angle aigu avec la direction positive de Ox.

15. Déterminer les vecteurs dont les coordonnées sont de la forme : i-h2>., r<-h4/., — I — ?>, — 3-H2}i, 2 — X, 2 — 2I. Calculer les coordonnées de leurs origines et de leurs extrémités, en supposant que leurs milieux sont dans le plan des xy. Calculer leur moment relatif.

THÉORIE DES VECTEURS. qS

16. On prend le moment d'un vecteur fixe ^ par rapport à un point O mobile sur une droite fixe D. Où doit se trouver le point pour que le moment soit minimum? Généraliser en remplaçant la droite par une courbe quelconque. En s'appuvant sur le théorème du n° 109, déduire du résultat précédent la position de O qui rend maximum l'angle aigu formé par la droite Da\ec le plan (0, Y).

17. On donne un \ ecleur et un cercle fixes. Etudier les variations du moment du vecteur par rapport aux tangentes au cercle.

18. Démontrer que le moment relatif de fleux vecteurs a pour valeur absolue le produit de leurs longueurs par la plus courte distance de leurs directrices et par le sinus de leur angle.

19. Soient deux plans llxes rectangulaires P et P'. A tout point M de l'espace, on fait correspondre un vecteur \ . dont l'origine est en M et l'exlrémité au point obtenu en projetant orlhogonalement sur P le symétrique de M par rapport à P'.

1° On prend le moment AK de ^ par rapport à un point donné A de l'espace. Quel doit être le lieu de M pour que AK soit situé dans un plan donné ou sur une droite donnée, passant par A? Montrer qu'il y a

deux points M pour lesquels le vecteur AK est entièrement donné à

l'avance. Quel est le lieu du point M lorsque AK varie arbitrairement, de manière à rester seulement parallèle à une droite tixe ?

2° Trouver le lieu du point M lorsque le moment de V par rapport à une droite fixe D de l'espace demeure constant. Cas où D se trouve dans P ou P' ou bien perpendiculaire à lintersection de ces deux plans. Cas où le moment est nul.

20. Quelles sont les coordonnées pluckériennes de la droite du plan des xy qui a pour coordonnées normales dans ce plan o et/? (n°6o)?

21. On donne deux droites Dj et Dj par leurs coordonnées pluckériennes. Calculer les coordonnées pluckériennes de la droite D qui s'appuie sur Dj, D., et passe par un point donné.

22. Montrer, par l'emploi des coordonnées pluckériennes, qu'il existe en général deux droites qui s'appuient sur quatre droites données.

23. Quelles relations doivent vérifier les douzes nombres a. ,3,. . . n' pour que a-^'/.y.'. 3 ^- 75', y -i- À y', l-h'/.l', m -{-'/.m', n-{-}.n' soient

94 CHAPITRE vm.

les coordonnées pliickériennes d'une droite D, quel que soit /.? Montrer que, dans cette hypothèse, la droite D pivote autour d'un point fixe, dans un plan fixe, quand À varie.

(On pourra s'appuyer sur ce fait que si une droite rencontre deux droites D particulières, elle les rencontre toutes.)