On reprend l'exercice résolu n"^ k
1° Calculer l'équation du plan II connaissant a, (3, . . . n et réciproquement.
2° Quelle est la surface engendrée par MK, lorsque la droite D est quelconque? Quelle est la courbe enveloppée par MK, lorsque D et D' sont dans un même plan?
[Pour 1°, on utilisera l'Exercice 12 (3°). Pour 2°, on prendra D pour Oz, Oy perpendiculaire à la somme géométrique R, O au point de D de moment minimum. Puis, on prendra II pour ^Oy, son pôle pour origine et 0/ perpendiculaire à R. On pourra faire aussi une étude géométrique de la question. On montrera que la perpendiculaire menée par M, dans H, au moment résultant MK passe par le pôle P de II; d'où il résulte que D est la droite conjuguée àeldi perpendiculaire A en P à II. Les droites D sont caractérisées par la propriété d'êire perpendiculaire à leur conjuguée. En prenant M à la projection de P sur D, on voit aussi que les droites D sont les directrices des moments Résultants par rapport aux différents points de l'espace. On peut dire aussi que les éléments de réduction par rapport à tout point de T) forment, aiec D. deux plans rectangulaires.
Les droites D situées dans le plan W ne sont autres que les droites MK, d'après la deuxième propriété ci-dessus. Elles enveloppent une parabole de foyer P et de tangente au sommet D. Leurs conjuguées A passent par P t!t décrivent un cône du second degré {cf. Chap. XXVII, Exercice proposé n° 16).]
2'i. Reprendre les Exercices 16 et 17, en remplaçant le vecteur fixe par un système de \ecteurs.
26. l'Aant donné un polygone plan, de périmètre orienté, montrer que les vecteurs constitués par ses côtés, supposés orientés dans le sens du périmètre, forment un système équivalent à un couple, dont l'axe a pour mesure algébrif|ue, sur la demi-normale positive du plan, le double de l'nire iilgébrique limitée par le polvgone.
27. Ivlant donné un polygone gauche, de périmilre orienté, montrer que ses côtés forment un système équivalent à un couple. En déduire
l'existence d'une infinité de polygones tels que chacun d'eux se projette sur tout plan orienté de l'espace suivant un polygone délimitant la même aire algébrique que la projection du polygone gauche.
Un tel polygone plan peut être considéré comme représentant l'aire du polygone gauche. Peut-on étendre cette notion à une courbe gauche fermée quelconque?
Pour une courbe, l'axe du couples pour composantes les intégrales
:urvilignes \ y dz — c dy, ....
28. Étant donné un tétraèdre ABCD, on considère le système formé
par les vecteurs AB, AC, AD, BC, CD, DE. Quels sont sa somme géométrique et ses moments résultants par rapport aux quatre sommets, au centre de gravité et aux six arêtes du tétraèdre?
29. Démontrer que si deux systèmes ont mêmes moments résultants par rapport à trois points non en ligne droite, ils sont équivalents. (Considérer la difTérence des deux systèmes.)
30. Démontrer que si deux svstèmes ont mêmes moments résultants par rapport aux six arêtes d'un tétraèdre, ils sont équivalents. (Se ramène à l'exercice précédent.)
31. Etant donnés un tétraèdre ABCD et un système de vecteurs, montrer qu'on peut toujours déterminer six nombres Xi, x^i ^z-. -^i»
J75, Xf tels que le système jCj AB, .rjAC, x^AD, j^^BC, cc^CD^ cc^DB soit équivalent au proposé. Ces six nombres sont appelés les coordonnées tétraédriques du système (').
(Se ramène à l'exercice précédent.)
32. Gardant les notations de lexercice précédent, déterminer les coordonnées tétraédriques des vecteurs qui joignent les milieux des arêtes opposées.
[Prendre le moment relatif (n° 1 13) du vecteur considéré et de chaque arête du tétraèdre.]
33. Etant donné un système de vecteur:^, on prend son moment lésultant MK par rapport à un point M. Trouver le lieu des points M et K,
(') Voir à ce sujet l'article suivant : Michocx. Sur les coordonnées linéaires générales {Nouvelles Annales de Mathématiques, juin 1912).
q6 chapitre VIII.
lorsque la droite MK passe par un point fixe. (Deux cubiques gauches.
Prendre le point fixe pour origine.)
34.. L'axe d"un couple a pour composantes 53. —36, 16. Déterminer les deux vecteurs de ce couple, en supposant que Tun d'eux a son origine sur O;, son extrémité dans a:Oy, et se trouve dans le plan
Calculer le bras de levier, la longueur commune des deux vecteurs, l'équation du plan du couple.
Les coordonnées du premier vecteur sont déterminées parZi=:-,
3X,— 2Yi+7Z,= o. 53X,-36Y,+ i6Z, = o, L, = -y,, M, = --X,,
X,=:o. On en déduit celles du second.
35. Un vecteur Y, a pour origine le point U- — i' ^)- pour longueur 28 et fait un angle aigu avecO.r, de 110° avec O/, de 35» avec Og. Un second vecteur Vo a pour longueur 42 et pour directrice la droite d'équations
3XH- J— - + 22=0, — J? 2J + 4- + 5:=0;
il fait, en outre, un angle obtus avec Occ. Enfin, un troisième vecteur Y3 a son origine sur Y,, son extrémité sur Y, et se trouve dans le plan
ox-^y — 3;-f/4 = o.
Calculer les coordonnées du système formé par ces trois vecteurs, les éléments du lorseur équivalent, les éléments de réduction relatifs au point (—2, 7. —3), le moment résultant par rapport à la droite du plan des xy qui a pour coordonnées normales, dans ce plan, — 28", 33. Faire la réduction à deux vecteurs, dont l'un soit porté par cette droite.
36. On réduit un système donné à deux vecteurs Y, et Vo, dont l'un OY^ a pour origine un point fixe O, mais une orientation variable.
1° Trouver le lieu du point \ ,.
2° Montrer que Y, demeure dans un plan i'we (II).
3» Ce plan (II) étant pris pour plan des .ry et le point O pour origine, calculer les coordonnées du point \ 1 en fonction des coordonnées normales dé la droite 1) qui porte V.,. En déduire la podaire de Tenveloppe
de D par rapport à O. quand 0\ , décrit un cône donné. Quelles sont,
en particulier, cette podaire et celte enveloi^pe, lorsque 0\ , garde une grandeur constante al Nature de l'enveloppe suivant la valeur de a.
4° On prend pour ave des c l'axe central du système. Taxe des j? passant par le point O. Calculer, en fonction des coordonnées du point \ iles coordonnées pliickériennes de la perpendiculaire commune à N i et \.2. ainsi ([ue les coordonnées du pied de cette perpendiculaire sur 0\ 1. Lieu de ce pied.
37. Un système de vecteurs admet pour axe central Ox et pour pas k. Par le point Afo, o. h), on mène une droite D perpendiculaire à Oz et dangle polaire y., relativement à 0.r. Par A'(o. o. h'), on mène une autre droite analogue, d'angle polaire a'.
1° Quelles relations doivent exister entre h. h', a. y.' pour que les deux droites soient conjuguées (n** 126) ?
■i"^ Lieu de ces droites ([uand elles font entre elles un angle constant \ .
Nature de la correspondance entre les points A et A'. Cas où V = -•
38. Ltant données deux droites D et D'. on choisit arbitrairement un vecteur sur D et un vecteur sur D'. Trouver le lieu de l'axe central du système formé par ces deux vecteurs. Calculer le pas du système et montrer qu'il reste constant quand l'ave central reste iixe. Prouver qu il v a deux axes correspondant à un pas donné et qu'ils sont symétriques I un de l'autre par rapport à une droite fixe.
39. Soient deux systèmes de vecteurs S et S'. On multiplie tous les vecteurs du premier par un nombre arbitraire À et ceux du second par un autre nombre arbitraire [j.. On obtient de la sorte le système /.S -H /J.S'. Montrer que les système- ([ui ont un pas donné se reparussent en deux familles, pour chacune desquelles l'axe central est fixe. Cas où le pas est nul. Quel est le lieu de l'axe central, lorsque /. et p. varient arbitrairement?
(Comparer avec l'Exercice précédenl.)
iO. Soit un trièdre trirectangle Oxyz. On considère trois torseurs: A d'axe Ojc et de pas a. B d'axe Or et de pas b, C d'axe 0:; et de pas c. (^)uel est le lieu de l'axe central du système }. A -r- ,u.B -f- vC, lorsque ).. /JL, V varient arbitrairement, sous la seule condition que le pas garde une \ aleur constante A ? \ ariation de ce lieu avec h.
IIaag. — Exercices. II. 7
f)-8 CHAPITRE VIII.
41. Mêmes questions pour le système conslilué par trois veclemà arbitraires portés par trois droites fixes.
(A propos des questions 38 à il, le lecteur pourra consulter un article del'auteur à^m\ç. Journal de Mathématiques pures et appliquées. 1910, p. 343 et suiv.)
i2. Invariants. — Etant donné un système S. de coordonnées X. Y. Z, L. M. \. les expressions V,- — \--^\--\-Z'- et £2 = LX -H MY — XZ sont des invariants pour tout changement des axes de coordonnées, ainsi qu'il résulte de leurs significations géométriques. Le vériller, en établissant au préalable les formules du changement de coordonnées.
Étant donné un deuxième système S', si l'on forme les expressions Ret Çl pour le système S H- /. S', on obtient des invariants, quel que soil ).. En prenant le coefficient de X, on obtient les invariants simultanés XXM-YV^^ZZ et LX -4-MY'+XZ ^+^XL -^Y\r+ZN'. Quelles sont leurs signilications géométriques ? Le second s'appelle le moment relatif des deux systèmes. C'est six fois la somme algébriijue des tétraèdres A/BtB'- A'-. En particulier, si S' est identique à S. on a Vautoniomcnt xil du système S.
43. Théorie géométrique des vecteurs glissants. — On peut suivre la marche suivante :
1° Klablir (i) ÂB,0:=AB,0''4-Ô^^ (Ô^^Âb)
(Amener, par glissement, A et O' dans le plan P mené par O perpendiculairement à AB. Supposer AB=:i. Les trois moments se déduisent
alors des vecteurs OA, O'A, 00' par des rotations de — ~. Le raisonnement s'achève aisément.)
2° Établir la propriété fondamentale du moment par rapport à une droite D, en appliquant i" à deux points O et 0' pris sur I>.
3" Montrer que le moment relatif de AP> et A'B' est égal à 6 Vol. A HIV A'.
4° iJémoiilier le théorème de \ arignon pour Aaiw vecteurs
(2) O V , , M -H O V„ M '- Ôv", M (oV=r=ÔV\-+-ôC).
[Prendre M successivement en O, V,, Nj; puis, n'importe où en dehors du plan \ |0V.,. en projetant sur MO, MVj, W\ > el s'appuyant
Mir 2"; enfin n'importe où dans le plan NiONoCn projetant (<) sur la perpendiculaire à ce plan, M étant pris sur celte perpendiculaire.] 3° Théorème de ^ arignon pour n vecteurs.
I S'nppuyer sur (i) et sur le théorème de \ arignon. ] 7'^ Propriétés et composition des couples; réduction d'un système à un vecteur et à un couple. {/'/■ n"* 119 et 120.;
8" La projection de S,0 sur OR est constante.
(Résulte de 6\ J
9° Partant de la réduction en un point quelconque, trouver Taxe I jntral.
io° Pour qu'un svstème soit équivalent à un vecteur unique, il faut < t il suffit que les éléments de réduction relatifs à un point quelconque -oient rectangulaires.
I I'' Réduction à deux vecteurs, dont lun sur une droite donnée D,
I Piéduire à OR et au couple OK. 0 étant pris sur D. Mener, par R, le plan perpendiculaire à OK, il coupe D au point \ j : 0\ , est le premier vecteur. On cherche ensuite lave central du système S — ON , et
n Ton a le second vecteur, J
i>." Svstème de vecteurs parallèles.
(Prendre d'abord deuv secteurs et chercher un point de leur plan, par rapport auquel le moment résultant est nul. Puis, pour n vecteurs, raisonner par récurrence.)
RAPPORT ANHARMONIQUE. HOMOGRAPHIE; INVOLUTION.
EXERCICES RESOLUS
1. Sur iiite droite, on donne quatre points fixes A, B, A', B'. Déier- 'm miner deux points M, M' tels que
(i) (ABMM')n=A, (A'B'MM') = /.',
le et k' désignant deux nombres donnés.
H y a deu'X solutions Mj, M', et Mj, Mj. Montrer que, quels que soient k et /.', les segments Mj Mg et M', M, sont conjugués harmoniques par rapport à deux points fixes. Montrer qu''il en est de même des segments MjM, et MaM!,? '>""•* ^ci condition que le rapport anharmonique ( i . — i , A', k' ) demeure constant., et des segments Mj M,, M', Mo, sous la condition ( i, 0, A, /c') = const., 0 désignant un nombre fixe. Quelle valeur doit avoir 0 pour que le segment fixe qui divise harnioniquement MiM, soit le même que celui qui divise harmoniquement
Une première question à résoudre est le choix du paramètre au moyen duquel on va déterminer la position d'un point quelconque de la droite donnée. L'idée qui vient tout d'abord à l'esprit consiste à prendre tout simplement l'abscisse de ce point, en laissant l'origine arbitraire, afin de ne pas détruire la symétrie entre les points fixes donnés. Mais, on devine que les calculs seront compli(jués.
Une autre méthode consisterait à déterminer chaque point 1' par le
FA
rapport -^z^ \ mais cela ferait jouer à A et B un rôle particulier. Ce procédé nous semble cependant devoir donner des calculs assez, simples. Libre au lecteur d'en tenter l'application.
\j^ troisième idée, que nous allons suivie, est celle-ci. Les points (A , I>) et (A', B') déterminent une involution (n° \h\). Soient 1'^, F ses points doubles. Nous fixerons la position de chacjue point F par le rapport"
RAPPORT ANHARMONIQLE. — HOMOGRAPHIE: INVOLLTiON. 101
— /. Il est clair que, de cette façon, nous conservons toute la syraé-
PF trie des données.
Les points A et fi, ainsi que A' et B', sont conjugués harmoniques par rapport à EF (n° 141). Nous poserons donc
ÂË ÎTE JJ\. , WÊ .
Soit maintenant
