PI V

- cos 0

B=r VcosÔ— y i/4sin0.

COORDONNEES.

Cosinua directeurs. — Les arêles ayant pour longueur l'unlle. leurs cosinus directeurs sont leurs projections sur les axes, lesquelles sont données par la formule de Chasles, soit

A,A., : x, — x^, r, — ji, o;

[ jc, — j:, , . v^ ^

l — = + (/i — j2)-:7co>9,

I ■r'-y.r-^^(^,-^,)^cos9, :^sin5;

( •!l=^-(j,-y.)^cos5,

y^-'''-(x,-x,)^cose, -^sin9;

J L 4- ( ^j — rojA, ; {■^i — -■'2;^»

A.Av

fLl^ + (,,-j,)A. r^ (,.,.,) A,

^^si.9+y/|cos9;

en posant

2 Étant donnés deux trièdres trirectangles Oxyz et Ox'y'z de même origine, trouver tous les points qui ont mêmes coordonnées peurapport aux deux trièdres. On supposera successwement les deux trièdres de même espèce, puis d'espèces différentes (').

Partons des formules du changement de coordonnées (n» 35) et supposons-y :x = x', y = y, z^z'.Les coordonnées (anciennes ou nou-

(<) Cf. t. I; E.rerc., Cliap. WIV, Exercice proposé n- o.

l4 CHAPITRE III.

velles) des points cherchés doivent vérifier le système

i {a — 1 ) cr H- a' y + r/' ^ = o,

(i) < bx -\- ib' — \)y -^ b" zz=zo,

! ex -\- c' y -T- ( c'' — I ) - = o.

Premier cas : Trièdres de même espèce. — Le déterminant ô du système (i) est nul. En elfet. si on le multiplie par

en faisant le produit colonne par colonne (n° 283) et tehant compte des relations (Sa) et (33) du \\° 35, on retrouve ô, où l'on aurait changé les signes de tous les éléments, c'est-à-dire ( — i)^ozz: — o. Comme A = I (n° 35), on a ô :=r — ô :^ o.

Je dis que, d'autre part, si les trièdres sont distincts, les mineurs du second ordre de ô ne sont pas tous nuls. En effet, en ^nnulant les nnineurs relatifs à la diagonale principale, on trouve, en utilisant les formules (89) du n° 35.

Or. en ajoutant les deuv premières de ces égalités, il vient c''=i. De même, a = i, b' :=zi. Ceci n'est possible que si O;;' coïncide avec O^, Ox' avec Ox et Oy' avec Oy.

Ce cas banal étant écarté, nous voyons, d'après la théorie des équations linéaires homogènes (n° 292), qu'il y a toujours une infinité de solutions, d'ailleurs proportionnelles. Donc, une infinité de points répondent à la r/uestion: ils sont sur une droite OÀ issue de l'origine (n« 25).

On peut obtenir, sous une forme élégante, les paramètres directeurs de cette droite par l'artifice suivant : Multiplions la première équation (i) par a, la seconde par ^, la troisième par c et ajoutons; il vient, en tenant compte des relations (82) et (38) du n° 35,

{a — \)x -{- by -\~ czz^o.

lîetrauchant de la première équation (i), on a

En permutant circulairemenl les lettres et les accents et supposant

COORDONNEES. I 5

les différences c' — h", a' — c, b — a' non toutes nulles, on obtient

Les différences ci-dessus peuvent donc être prises pour paramètres directeurs de 0/..

On peut d'ailleurs vérifier, et ceci est une nouvelle démonstration de l'existence de OÀ, qu'en les substituant dans (i) à la place de jc- y, z-, on n'obtient que des identités.

Ceci est en défaut si»c' =: h' , a''= c, b :^ a . Mais alors', il suffit de remplacer, dans (I), Xj y^ z par i — a. b, c, ou bien par a'^ i -\- b' , c, ou bien par a", b", i -f-c". On obtient encore des identités. Donc, OÀ a des paramétres directeurs proportionnels à l'un quelconque des trois groupes de nombres ci-dessus. On peut d'ailleurs observer que le premier groupe

définit la bissectrice de ' Ox, Oo: / (cf. Ivxercice proposé n°lli, le

second d-Hinil la bissectrice de \0v,0y'/ et le troisième la bissectrice

de \0c. O z' I . Ces trois bissectrices coïncident donc avec 0/. i ' i.

(') On peut toutefois se demander si les trois équations c = b' , a" = c, & = a' jointes au\ si\ relations (32) et (33) du n" "25 ne déterminent pas complètement le trièdre Ox'y' z , la solution unique étant précisément le cas banal de la coïncidence. Il est facile de voir qu'il n'en est rien. Si l'on pose c' — b" ~ a, a'=c= p,

b — a ■=^ ■', on trouve, en portant ces valeurs dans /y = eu' — ac . a = '—^ — i. De

même, b' — ^^ i , c" = -^ i .

On a maintenant les neuf cosinus en fonction de t., [î. -.-. En portant leurs valeurs dans (02) et (33), on constate qu'on obtient l'unique relation

( 1 ) 'i- Y" -I- Y* a- -^ a- 'i- = 2 a^^ÎY-

Il y a donc une infinité de triédres satisfaisant aux conditions ci-dessus: ils dépendent de deux paramètres, par exemple a et ,3. On peut vérifier la relation (i) en posant

a = sinO sin -^j

sin h cosï.

I sm ^ cos'.; cos- -•

On trouve alors que la bissectrice coiamune aux trois angles xOx.yOy', zO z'

;i pour cosinus directeurs cos- cos s, cos -sin g, sin-, donc 5 pour longitude

et - pour latitude.

On a, de la sorte, les neuf cosinus du trièdre sj'niétriquc du trièdre de coordonnées par rapport à une droite O a quelconque.

Deuxième cas : Trièdres d'espèces différentes. — Le déterminant 6 n'est plus identiquement nul. Si on le développe suivant la première ligne, en tenant compte des relations telles que — «= b' c" — c' b" (n° 35),

on trouve

Donc, pour qu'il y ait des solutions autres que l'origine, il faut et il suffît qu'on ait

cos>r0.r' + cos/Oy'+ cos^O:3'=: i.

Celle condition remplie, loule solution de (i) doit vérifier (2), si l'on suppose les différences c' — b", a' — c, b — a' non toutes nulles. Mais, si l'on porte les valeurs (2) dans la première équation ( i ), on trouve

fJe mèine, les deux autres équations donnent a" — c = o, b — a'=o. Ceci nous montre que le système (ij ne peut être vérifié, dans le cas actuel, que si l'on a aussi (')

Mais alors, il est aisé de vérifier que tous les mineurs du second ordre de 0 sont nuls. Les équations (i) se réduisent à une seule. II y a une

(') Comme loul à l'heure, les équations (5) entraînent

avec l'unique condition, qui exprime aussi (3),

qui perrriel de poser

a = — sinO sin :

! y-J , Y' a- + a' |ï= = — 2 a^iy,

sinOcos», y— — asin » cos» cos'^

[.e liirJrc oppiist' A O.v y' z' loïncide avec celui de la note précédente (chani;er les signes de a, [t,, ■;, a, b' , c"). (Jn en déduit sans peine que Ox'y'z' esl symétrique de Oxyz par rapport au plan perpendiculaire à 'a droite appelée précédemment 0)>. Ce plan n'est autre (jue P, car il esL aisé de vérifier que les cosinus directeurs de 0/. sont proportionnels aux coeflicienls de cliacune des équations (i).

COOauONNEES. 17

infinité de points répondant à la question ; ce sont les poinls cV itn plan V passant à l'origine ( n" 80).

Remarques géométriques. — Dans le premier cas, In demi-droite O). fait Jes mêmes angles avec les demi-droites Ojc et O x\ Oy et O/', O^ etO:;', puisque son point directeur a mêmes coordonnées par rapport aux. deux, trièdres. Par une rotation convenable de O x' r' z' autour de 0/., on peut amener O z' sur O^. 0 x' et Or' sont alors dans le plan xOy et font toujours avec 0/. les mêmes angles que Or et Oy respectivement. Ceci n'est possible que si Ox' et Oy' coïncident avec Ox et Oy ou bien en sont symétriques par rapport au plan zOi.. La seconde hypothèse est, d'autre part, inadmis>ible, car les deux trièdres ne seraient pas de même espèce.

On voit donc (\non peut amener Ox y' z- sur Oxyz par une rotation autour de O/.. Il revient au même de dire que tout déplacement d\ine figure invariable dans lequel un point reste fixe équivaut à une rotation autour d'un Certain axe passant par ce point.

Dans le deuxième, toute demi-droite 07. située dans le plan P fait le même angle avec les demi-droites Ox et 0 x' . Elle se trouve donc dans

Ig plan bissecteur de xOx'. lequel ne peut être, par suite, que le

plan P. Le même raisonnement s'appliquant à vOy' et ^O^', on voit que les deux trièdres sont symélri([ues par rapport à P. ce que nous avons, du reste, vérifié analvtiquement f note de la page précédente).

En se reportant à la discussion faite plus haut, on voit que, pour que les deux trièdres i)xyz et Ox'y' z' soient symétriques l'un de l'autre par rapport à un plan passant par O, il faut et il sujjlt qu'on ait la relation (4)-

3. Les axes Oxyz étant rectangulaiies^ on donne une demi-droite

07. et un recteur A, A, perpendiculaire à cette dend-droite. On fait tourner AjAj autour de A,, dans le plan perpendiculaire à 0/., d'un angle V mesuré au moyen du sens positif défini par O}.. Le point k., lient en A3. Calculer les coordonnées de A,, connaissant celles de X^ et de A, et les cosinus directeurs a, b, c de O/..

Introduisons la demi-droite Ou. qui a même direction et même sens

que A, A., et la demi-droite Ov telle que le trièdre O^.jjlv soit trirectangle

et positif. Si (a', b' . c' ) et {a'\ b\ c" ) sont leurs cosinus directeurs respectifs, on a

(i) pa'—{x,— x^), pb'={yo — yi), Qc'z={z.2—Zi),

Haag. — Exercices. II. 2

l8 CHAPITRE m.

en appelant & la longueur A,A2 et ( n° 35 i

(■O a"=bc'~cb'. h"—ca'—ac', c" - ah' — ha' .

D'autre part, le sens positif défini par O/. dans le plan Ojlxv est

celui de Ou vers Ov. L'angle V est donc l'angle polaire de AiA, dans ce

plan. Les projections de Ai A3 sur Op. et Ov sont, par suite. pcosV et osinV et l'on a régalilé géométrique (')

(3) ' A, A3= p cosVou. -^ p sin Vfl.^. Projetant sur ()j:\ il vient