MF MF
Conanoe l'abscisse de AI est fonction homographique de / (n* 23). les équations (i) peuvent s'écrire ( n" 130)
(4) {m, — ni. tu') = le. {ni',— m',t.t')z=zh'
ou, tous calculs faits,
{tf — m- ) (i — k) + {t — L')tn (i -+- A' ) =-- o,
^ ' ^ {tL'—m'^){i — k')^{t — t')m'{ï^ k') — o,
ou encore, en posant, pour abréger l'écriture ('),
m(i-^/.) in'{\ — k)
\ tt' -i- li {l — L') = m-, ■^^ ] tL'^Ji\t--L') — m'-.
De ces équations, on lire ('-)
m- — tn'- , Jun''^ — h' nr
Puis
(9) ^H-Z'r=:±vV-+-4v = ±
('• ) Nous supposons k ^i et k' ^ 1. Si A = i, par exemple, M et M' doivent être <;onfondus et l'on doit avoir aussi k' = i. Ce cas est évidemment sans intérêt.
(-) Nous écartons riiypothcse h = n. qui exige m-= m ': d'où ni = m', k = /.' ou
bien m = — m', k = —. Les points A', B' se confondent avec A, B ou avec B, A et
les deux équations (i) sont identiques. Le problème n'a plus d'inlcrét.
CïLUMTKE IX.
D'où les deux solutions
(lO) /,
On aperçoit de suite les relations
(il) /, + /; = G,
Elles expriment que les segments MjMg, MoM, sont conjugués harmoniques par rapport aux pointsYj^ F, lesquels sont bien indépendants de /.-, /.'.
Si l'on a (12) (1, — i,Â-, /. ) 3z const.
ou
consl.
ou, d'après (6), — -z^ consl., la deuxième équation (8) nous montre que
q = const. = c/?. D'où il suit que les segments M, M', et MoM', sont conjugués harmoniques par rapport aux points fixes C, C définis par
cF
Ces deux points sont eux mêmes conjugués harmoniques par rapport à EF; autrement dit, ils appartiennent à Tinvolulion définie par (A. I!), (A/, 15').
Pour (jur M,. ^\^ soient conjugués harmoniques par rapport à deux points Jixes^ il faut et il suffit que t^. l-i soient conjugués liaimouiques par rapport à deux nombres fixes ou qu'ils soient reliés par une relation homograplii<pie in\oluti\e :
(iVj A/,^.+ lJ(/,4- ^2) -+-C — o
ou, d'après (f o) et (9).
ou
(16) h(li m- — hm'-) -h \\{m-— m'-) -h C(/< — A') = o.
iVautre part, l'égalit';
(17) (1/7, /.-,/.') = }. = const.
RAPPORT ANHARMONIQCK. - nOMOGRAPHIE ; IXVOIATION. Io3
pruL s'écrire, en posant 03 = ■ ^ (t. I. n° 322),
Il h' ' oc. 00) — , — ; m m
ou (t. I, n° 318, théorème 1)
[ li II \
\m ni J
ou
// - / li\
Les relations (16) et (18) sont toutes deux linéaires en h, h'; on peut les identifier, en posant
Autrement dit, si Ton a (17). on a aussi
Zr.v points M., M, .vo«f co/y^^-"e.- tiarmonUjuci par rapport aux points fixes Q, Q', dont les t sont donnés par l'équation
Les t des points M',. Ml étant -J,. - 1,. ils vérifient la relation déduite de (19) par le changemenl de o) eu - co. Us sont donc conjugues harmoniques par rapport aux points R, R', dont les t sont donnés par
'■'" ^"' r- - 2 0) ( 1 - /. ) / -- ^^- '" — 'ii' = o
et qui sont eux-mêmes conjugués des points Q, Q' par rapport a E, F.
Pour nue R. R' se confondent a^'ec Q. Q', il faut et il suffit que 1 on ait 03=0 (en supposant A^i). c'est-à-dire 5=-i. Dans ce cas, le segment QQ' (ou RR) divise harmoniquèment EF, car les racines de (20) [ou (21) 1 sont opposées.
2. Théorèmes de Ménélaiis et de Céva. Pôles et polaires trilineaircs.
— On peut démontrer élégamment, à l'aide du rapport anharmonique, les théorèmes de Ménélaiis (Chap. M, l^xercice proposé n° 9) et de Gèva (ibid.^ Exercice résolu n° i).
Fig. 7-
Soienl le triangle ABC i^/îg'- 7) et la transversale D, Je dis que
Ceci peut s'écrire
aB bC c\ a G b \. cW
^ ~bA "c7\
aC bC cU Menons cd parallèle à BC; nous avons
cA dA
^ ^ dV/
Moyennant (|uoi, (',) devient
^7B b\ dA. ^ç^^.
aC bC dC
ou
{B(:aoo)r-r (XCbd).
Or, cette égalité est \ raie, car les deux membres sont égaux au rapport anliarmoni(]ue du faisceau c{BCad).
Démontrons maintenant le théorème de Cé\a. Je dis que l'on a
r'H bC C'A
a'C bA. c B I">n efTet, joignons bc. La droite AP est la polaire de a par rapport
à BAC (n" 133). Donc, a' est conjugué harmonique de a j)ar rapport
RAPPORT AXHARMONIQIE.
à BG et l'on a
homographie: involutiox.
ÔB
aC ».
Dès lors, (3) revient à (i).
Les réciproques se déduisent sans peine des propositions directes, en s'appuyant sur ce fait qu'il n'y a qu'un point qui divise un segment donné dans un rapport donné (*).
Méprenons la transversale D {/ig. 8). Soient a', b\ c' les conjugués
Fie. 8.
harmoniques de a, b, c par rapport à BG, GA, AB. On a la relation (i) et Ie5 relations telles que (4). On en déduit
Donc. les trois droites .\<7', M b\ Ce' concourent en un certain point M. (le point M est appelé le pôle Irilinéaire de la droite D.
Inversement, si l'on partait du point M. on arriverait à la droite D, qui est dite la polaire Irilinéaire de M.
Cherchons V enveloppe de D, quand M décrit une droite donnée A {Jig. 9). Je dis que les points b. c décri\ent des divisions homographiques sur AG et AB. En effet, la correspondance est é\idemment
C) Par exemple, si l"on a (i), bc coupe BC ea un point Oj, qui donne lieu à la
. •• . ,• • . 1 f'i B aB , .. j
même egahte, d ou resuite = : donc dj coïncide avec a.
io6
algébrique. En outre, si Ton se donne b, on en déduit b' . conjugué de bpar rapport à A(;. Joignant 15^', on a M, au point de rencontre avec A.
Fig. 9.
.Joignant CM, on a c', au point de rencontre a>ec Alî; d'où l'on déduit c, conjugué de c' par rapport à AB. Une construction analogue donnerail />, en partant de c. Il y a donc bien correspondance liomographique (n" 130).
Noyons si le point de rencontre A des deuv bases est à lui-même son homologue. Si b \icnl en A, il en est rie même de b' (n" 129); M vient en y sur Alî, ainsi que c' ; c \ient en y' conjugué fie y par rapport à Alî. Pour que y' soit en A, il faut el il suffit que y s'y lrou\e aussi, c'est-àdire que A passe par A. Dans c(; cas, I) passe par un point fixe. D'ailUuirs, MA coïncide; conslaminent avec A, a' est toujours en a. et a en a', qui est le point i'wc ('). ( )n \oil donc (jue si la droite A passe par un sommet A du Iriangbi^ i) passe constamment par le point a! conjugué harmonique^ par rappoit à lU], du point a où A rencontre BC.
Ce cas particulier étant écarté, l'cun eloppc de 1) est une conique. Cette conique est tangente en y' à Al) et, par raison de symétrie, en [j à A(^ et en yj à B(^ Obser\ons d'ailUnirs (juc A a', B|3', Cy' concourent au pôle trilinéairc de A. Donc, si A ne passe par aucun sommet du triangle, l'enveloppe de D est une conique Y tangente à chaque côté du triangle au point où ce côté rencontre la droite Joignant le sommet opposé au pôle trilinéaire de A.
Le lecteur démontrera, d'une manière analogue, par l'usage des
(') Le lecteur csl prir- de faire la figure, dans ce cas particulier.
RAPPORT AMîAUMOMyUE. — HOMOGRAPHIE; IXVOLUTIOX. 107
faisceaux, liomographiqutîs BM, CM. les propositions corrélali\es (n° 299) suivantes :
Si D passe par un point fixe P situé sur un côté BC du triangle, .M décrit la droite joignant le sommet opposé A au point conjugué harmonirjue de P par rapport à BC.
Si D passe par un ]>oint fixe P situé en dehors de tout côté du triangle, M décrit une conique — circonscrite au triangle et tangente en chaque sommet à la droite joignant ce sommet au point de rencontre du côté opposé avec la polaire Arilinéaire de P.
Il pourra aussi démonlrci- les réciproques de ces différentes propositions et considérer les cas particuliers suivants :
1° A est à rinfini ;
2" A passe par deux pieds de bissectrices ou par le centre de gravité;
3° P est au centre de gra\ ité ou à l'infini ;
4° M décrit le cercle circonscrit.
Si r^ est la conique F qui correspond à la droite A prise à l'infini, on a les points à l'infini de la conique i, en menant, du point P. les tangentes à F^. II s'ensuit que 2i est une ellipse, une hvperbole ou une parabole, suivant que P est intérieur à. extérieur à ou sur la conique F^.
3. Soient un triangle ABC et un point O de son plan. On prend les points A' sur BC, B' 5///- CA. C sur AB. Démontrer que la condition nécessçiirc et suffisante pour que ces trois points soient en ligne droite est que les trois couples de rayons (OA, OA'), (OB. OB'), (OC. OC) appartiennent à une même involution (Chasles).
(i) . 0(ABC V') = 0(A'B'C'A).
Or, on a successivement [fig. lo) 0(A'B'C'A) = (A'B'C'«) = A(A'B'C'a) = (A'CBa)=:p(A'CBA).
L'égalité (i) re\ienl donc à
