A];C.\') = 0(A'CB

Fig-. 10.

<e qui est exact, en vertu du théorème I du n" 318 du Tome I. appliqué à un faisceau de droites.

2° La condition est suffisante. — Supposons-la remplie. Soit (> le point où A'B' rencontre Al). D'après i", le rayon OC est homologue de OC dans l'in\ oliilion définie par les deux eoii])les (OA, OA') et (OB, OB'). Par hypothèse, OC est homologue de OC dans la même in\olution. Donc OC et 0(7 coïneiflent. donc aussi (7' et C. Autrement dit, A', B', C sont en ligne droite. c. Q. D. F.

Applications. ~~ Si Ton mène OA' perpendiculaire ;i OA, OB' perpendiculaire à OB, OC perpendiculaire à OC, on retrouve l'Exercice proposé n" 12 du Chapitre V'I.

Si l'on mène OA', OB', OC symétriques de OA, 0B>, <JC, par rapport à une même droite O?., on retrouve ri.xercice proposé n° 13 du même Chapitre.

i. On donne deux droites Ji.i es A et A' non situées dfms un même plan et non perpendiculaires. In f/uadrilatère gauche variable a un coté AB sur A et un côté CD sur A. Les côtés BC, AD sont perpendirulaires. Les angles A et C sont droits. Lieua- des diagonales.

Lieu de AC — BC est perpendiculaire à Cl) et à AD, donc au plan CAD. De môme, AD est perpendiculaire au plan ABC. Les plans ACA et ACA' sont donc perpendiculaires entre eux, puisque chacun d'eux contient une perpendiculaire à l'autre. Ils décrivent, par suite,

RAPPORT AMIARMOMQCE. — HOMOGRAPHIE; INVOLITION. I09

deux faisceaux homojiraphiques et leur intersection AC engendre une surface du second degré (S) (n" li7), passant par A et A'.

Fig. II.

Si A est à l'infini sur A, le plan A'A est parallèle à A; donc BC est perpendiculaire à la fois à A et à A'; c'est la perpendiculaire commune HH'. Le point C est alors en H' et AC est la parallèle H'o à A, menée par H'. On verrait de même que la surface (S) contient Ho', parallèle à A'. C'est donc un hyperboloïde à une nappe^ admettant les plans AHH' et A'IIH pour plans asymptotes (n° 356). Les génératrices de contact de ces plans avec le cône asymptote sont, d'ailleurs, la droite équidistante de A et ô, pour le premier et la droite équidistante de A' et q'. pour le second. Ces deux droites se rencontrent au point 0, milieu de HH'. qui est le centre de (S).

Le plan tangent en H esf AHo, perpendiculaire à OH. Le point W est donc un sommet ; de môme H'.

Les plans perpendiculaires à A el les plans perpendiculaires à A' sont des plans cycliques (n" iSO). Soit, en effet, (P) un plan perpendiculaire à A. Il rencontre A en E. A' en E'. Soient EM et E'M les traces de deux plans perpendiculaires quelconques passant le premier par A, le second par A'. Le plan AEM est perpendiculaire à (P) et à A'E M; il est donc perpendiculaire à leur intersection E'M. 11 s'ensuit que E'.M est perpendiculaire à EM. Le lieu du point M est donc le cercle décrit sur EE' comme diamètre, dans le plan (P ).

Lieu de BD. — Je dis que B et D décrivent, sur A el A , deux divisions homographiques. En effet, donnons-nous le point B. En le projetant sur A', nous avons C. Le plan perpendiculaire en C à BC coupe ensuite A en A. Menant enfin par A la perpendiculaire au plan ABC, nous obtenons le point D, par sa rencontre avec A . A un point B correspond donc un seul point D. De même, on verrait qu'à un point D correspond un seul point B. Les constructions précédentes étant toutes

I lO CHAPITRE I\.

algébriques, nous avons bien une correspondance homographique. Le lieu de BD est donc une surface du second degré (S') (n» 147), passant par A et A'.

Si B va à l'infini sur A, C va à l'infini sur A' et nous avons vu que A vient en H. Le plan ABC est alors AHô'; donc AD, ([ui lui est perpendiculaire, vient en HH', D en H' et DB en H'o. On verrait de même que si D \a à l'infini sur A', BD vient en Hô'. La surface (S) a donc en commun c/('et(S) les quatre droites A, A', o, ô'. Elle a, par suite, même centre O.

Remarque. — Les points 11 et II' étant les homologues des points à l'infini, aussi bien pour les di\isions (A, G) que pour les di\isions (15, D), on en conclut (n° 138) que les produits HA. H'C et IIB. 11' D demeurent tous deux constants. Ceci peut encore s'interpréter en disant que les volumes des deu\ tétraèdres HAH'C et HBILD demeurent constants.

EXERCICES PROPOSÉS

j. Sur une droite [\\e. on donne trois points fixes A, B, C et un point variable M. Ktudier les variations du rapport anbarmonique (ABCM).

'i. Sur une droite fixe, on donne deux points fixes A, B et deux points variables M, M'. Étudier les \iiriations du rapport anharmonique y = (ABMM'), sachant que :

1° Le milieu de MM' reste fixe.

2° La longueur MM' demeure constante.

3" Le segment MM' est conjugué harmonique par rapport à un segment fixe.

Montrer que, dans chacune de ces trois hypothèses, à une Naleur donnée de j correspondent deux segments MjM, et MsM'^. Prouxer (|ue, lorsque / varie, MjM, et M', M^ restent conjugués harmoniques par rapport à deux points fixes.

3. On projette orlhogonalement les fpiatre sommets d'un rectangle sur une droite variable, l'étudier les variations du rapport anharmonique de ces projections.

k. Pour que trois points a, [3, y soient en ligne droite, il faut et il

suffit qu'on ait

P(Qa^y) = Q(P<iy),

RAPPORT AXIIARMONIQLE. — IIO-UOGRAPHIE ; IXVOLLTION. III

F et O étant deux points quelconques du plan tels que la droite ]'Q ne passe par aucun des points donnés.

5. Trou\er, dans le plan, un système de neuf points tels que la droite qui joint deux quelconques d'entre eux. en contienne un troisième et un seulement (' ).

[Numérotons les points i, 2, .... 9 et appelons droites D les droites qui les joignent trois à trois. Par chaque point passent 4 droites D. Il y a en tout 12 droites D. Soit 128 l'une d'elles. Par 4, il en passe une qui ne contient ni i, ni 2, ni 3; numérotons-là 456. Puis, numérotons les droites issues de i : i23, i47, i58, 169. La droite 24 passe ensuite par 8 ou 9 et 34 par 9 ou 8. Quitte à échanger 2 et 3, on peut supposer 248, 259, 267. Toutes les autres droites D sont alors numérotées; voici leur tableau :

Les faisceaux i(2456) et 2(i456) ont même rapport anharmonique p. D'autre part,

1(2456) = 1(2789) := 2(1789) et 2(l456) r= ■>,(i897) =r-i.

(t. I, n« 319). D"oi.

p r= I — - ou 0- 0 +1 = 0,

dont les racines sont — /et — /-', en désignant par y une racine cubique imaginaire de Tunité (t. I, n° 36). Donc, les quatre droites D issues d'un des neuf points ont pour rapports anharmoniques — y et — /-.

La droite i23 est rencontrée en ni par 456 et m" par 789. On a (i23m') ■r= 4(i235) = — /, par exemple. Puis

(i 23m") =7(1 238) = 7 (4638) ; — ./ = 4(7836) : d'où

Ces propriétés nécessaires étant établies, on peut construire les neuf points de la manière suivante : On prend arbitrairement i 5,3; puis, on construit m' et iri . On choisit arbitrairement les droites D' issue de ni et D' issue de m" et enfin le point 4 sur D'. On peut alors trouver les neuf points et huit des douze droites. Il reste à prouver l'existence des

(') Cette propriété appartient aux points d'inflexion d'une cubique (n" jGU).

quatre droites '^Sg, 368. i58, 169. Pour aSg, par exemple, il suffit de remarquer que '1(72.59) r^(i2m'3) = — ,7'^=^ [l'îSm") = 7(4?-59)].

5 bis. Soit un triangle ABC, un point P et une droite A passant par P et rencontrant P>C, CA, AB en a, ^, c. Démontrer que

(PaZ/c)-rP(AABC).

(Projeter PaOc sur BC, à partir de A.)

(). Soient deux segments AB, de milieu I, A'B', de milieu I', portés par la même droite. Démontrer que la condition pour qu'ils soient conjugués harmoniques peut s'écrire

AB.Al'izzAA'.AB' ou AB h-A'B' =r /, 11' •

7. Démontrer ((uf rorlhocentre et le centre de gravité d'un triangle sont conjugués liarmoni(|ues par rapport aux centres du cercle circonscrit et du cercle des neuf points.

8. Etant donnés deux segments AB et A'B' sur une même droite, déterminer un segment MN qui les divise tous deux harmoni([uement. Démontrer qu'il est réel ou imaginaire, suivant que les segments proposés n'empiètent pas ou empiètent l'un sur l'autre.

Indiquer une construction géométrique. (Le milieu de MM doit avoir même puissance par ia})port à tous les cercles qui passent par A et l'> ou A' et B'.)

î). Soit un (juadrilatère AFîCD, dont les diagonales AC, BD se coupent au point O. Une droite variable pi\ote autour de ce point. Elle ren-

contre AD en a, BC t;n S. Démontrer que le produit ' ■ demeure

aD pC constant.

[Evaluer de deux manières dillériMites le rapport anliarmonique du

faisceau O(ADaO'), O' désignant le point de rencontre de AD, BC]

10. Soit un triangle AB(]. La droite qui joint les pieds îles hauteurs issues de B et de C ronconlre BC en un point a. Montrer que les trois points a, h, c sont en ligne droite. (Polaire trilinéaire de Porlhocentre.)

jl. l'étant donné un faisceau de (juatre droites S/.,, S^W) SX3, S/,,

RAPPORT AXHARMOXIQLE. HOMOGRAPHIE; INVOLITIOX. [ l'i

démontrer la formule

c^,- , . ^ , sin( S/.,, S/.J sin\S/.i, S/.i /

sinVS>.3, S/.o/ sinl^S?.;, S/.jj Cas où deux des droites sont rectangulaires.

12. Démontrer ijue la condition d'harmonie des angles AiSÀ^j ^-sSÀj peut s'écrire

COS\Ài S).,/ C0S\/.3 S/.. ) = C0S2\|xS jJl'J,

en appelant S, y. la bissectrice de /iS/^ et Sfx' la bissectrice de X^S},;. Cas où SA, et S/.2 sont perpendiculaires.