Soit le faisceau défini par léquation quadrati([ue
kx-~- 2 B xy -H Cy- = o .
Démontrer que si A,B,C varient en demeurant liés par une relation linéaire à coefficients constants, le faisceau reste conjugué harmonique par rapport à deux droites fixes.
[ Identifier la relation donnée a\ ec la condition d'harmonie AC'+CA'-2BB = o.]
li. \'érifiiM' que le faisceau
Aa;- -h 2 B xy -f- Cy- -+->.( j?- -^ j- ) = o
a des bissectrices fixes, lorsque /. varie.
15. Calculer les bissectrices du faisceau iSx- — Soxy -+- Sy'-=: o.
16. Démontrer, par la considération de rapports anharmoni(}ues, le théorème de l'Exercice proposé n° 22 du Chapitre VIT.
{Cf. Exercice résolu n" 2.)
17. Soit un tétraèdre ABCD. On coupe ses six arêtes par un plan (H) quelconque. On obtient les six points «r, b, c, cl, e, f {fig- 12). On prends', 6', c', d \ e' , f conjugués de a, b, c, d^ e, f par rapport à AC, BC, BD, AD, AB. CD. Démontrer que les six plans BDa'. \D b' , ACc', BCf/', CDe', ABy" ont un point commun P.
Haag. — Exercices, II. 8
Il4 CHAPITKE 1\.
[Les plans AB/', ACc', AD//, par exemple, ont en commun la droite ([ui joint A au pôle trilinéaire de fch par rapport au triangle BGI>.
(Exercice résolu n" 2.) Le point P est le pale léfraéd/i/ji/e du plan (U ), (pii est \c plan polaire téiraédrir/iie de P.]
17 bis. Soit un tétraèdre AFîCD et une droite A, qui perce les faces BCD, CDA, DAB, ABC en a, b, c, d. Démontrer (|ue le rapport anharmoni([ue (abcd) égale le rapport anharmonique du faisceau de plans A(ABCD).
[Projeter a, b, c, d sur le plan ABC, à partir de D. On est ramené ;i r Exercice 5 bis.]
18. Soient (Mi, xM',), (Mj, Ml) deux couples de i)oiiits homologues de deux divisions homographiques. On définit un point quelconque M de
la nr.Mïiièrc division par le rapport >. — ^=^A «H le point homologue M' ' MMî
M ' M 'i . De quelle forme est la iclalion entre, }. par le rappoit /.' ~ ■
et//?
Même (lucstion en posant A =-- "
19. Entre les points de deux droites données (distinctes ou confon-
RAPPORT ANHAR.MONIQUE. — HOMOGRAPHIE; INVOl.l ÏIOX. i i -,
(lues), on établit deux correspondances homographiques. Existe-t-il des couples de points homologues communs aux deux correspondances? (Se ramène aux points doubles de deux diNÎsions homographiques de mêm.base. CJ. Exercice résolu n" 1.)
Même question pour deux involutions de même base. (/"/•. Exercice proposé n" 8.)
20. Etant données deux divisions horaographi.|ues par trois couples de points homologues, comment peut-on construire, en se servant du théorème III du n» 148, le point homologue d\n, point donné et, en particulier, les homologues des points à l'infini ?
(Si M,, Ma, Mj, sont les points donnés sur D et M',, M',, M; les points homologues donnés sur D', on déplace D' de manière 'que M; vienne en M„ sans que D' s'applique sur D. On peut aussi intro.luire une division intermédiaire D", comprenant M„ U'., et un point quelconque destiné a être 1 homologue de Mj et de M' ).
21. Etant données deux divisions homographiques non semblables, de même base, on appelle I et J' les homologues des points à l'infini de la deuxième et delà première divisions. On sait <|ueles points doubles E E ont même milieu 0 .{ue le segment IJ'. Si O' désigne l'homologue de O, considéré comme appartenant à la première division, montrer que O'J' divise harmoniquement EF. En déduire une construction des points doubles.
' 2-2. JustiHer la construction suivante des points doubles précédents : A et A' désignant deux points homologues quelconques, on fait tourner
le vecteur lA de - autour du point I et le vecteur .rA''de -- autour
du point J'. Soient P la nouvelle position de A et P' la nouvelle position de A'. Le cercle de diamètre PP' coupe la base des divisions aux points doubles cherchés. Cas où I et J' sont confondus.
(On démontrera la similitude des triangles PIE, E.I'P'.)
23. Étant données deux divisions en involution, on prend un point fixe P en dehors de la base. Démontrer que le cercle mené par P et par deux points homologues quelconques passe par un deuxième point hxe P'. En déduire la construction du point homologue d'un point donné et la construction des points doubles.
[Le point P' se trouve sur la droite joignant P au point central (n» lil ).]
