I I<S CHAPITRE IX

42. Un polyitone plan de n côtés varie de manière que ses sommets décrivent chacun une droite fixe et que n — i de ses côtés passent' chacun par un point fixe. Enveloppe du /*''""' côté. Cas de dégénérescence. Cas de n = 3.

43. On reprend le pol^^gone précédent et Ion suppose que ses côtés passent chacun par un point fixe et que n — i de, ses sommets décrivent cliacun une droite fixe. Lieu du n"'^'' sommet. Cas de dégénérescence. Cas de /i =r 3.

[On peut déduire de l'un ou l'autre de ces deux exercices, la propriété suivante :

Si deux triangles ABC, A'B'C sont tels que les droites AA', BB', CC soient concourantes, les côtés BC, B'C; CA, C'A'; AB, A'B' se coupent en trois points en ligne droite et réciproquement. Les deux triangles sont dits homologiques (n° 400)].

44. Trouver l'enveloppe des droites d'un plan sur lesquelles quatre droites données découpent une division harmonique.

4o. Soit un quadrilatère complet ABCDEF. On mène les bissectrices des angles A, B, C, D. On obtient le quadrilatère A'B'C'D'. Soit I le point de rencontre des diagonales A'C et B'D'. On suppose que le quadrilatère proposé >e déforme de manière que les points E, F, I restent fixes et que le sommet A décrive une droite A. On demande les lieux de> sommets B, C, D. Discuter la nature de ces lieux, suivant la position de A.

(Extrait de la composition de Mathéruatiques élémentaires donnée au concours d'Agrégation en 1900.)

[Remarquer que les diagonales A'C et B'D' sont bissectrices

de BFA et DEA. On a ensuite des faisceaux homographiques. A propos du lieu de G, on pourra remarquer que la correspondance entre A et C est une transformation par points in\ erses (n" 410).]

40. I.taiil donnés deux point (ixes A et B, trouver le lieu des points M

qui sont tels que les bissectrices de A.MB aient des directions fixes. ( Hyperbole éqnilatère. )

47. Beprendre géométriquement les questions 1° et 2° de l'Exercice proposé n" 12 du r.hapitre \. Démontrer en outre que M\' passe par un point fixe.

[Pour le lieu du milieu 1 de N.N', considérer les faisceaux décrits

RAPPORT ANHARWOMQUE. — HOMOGRAPHIE; INVOLUTION IKJ

par \\' et par la perpendiculaire à A menée par I. On montrera que, si Q est le point de rencontre de NN' avec A et H la projection de O

sur A, OM et OM' sont le> bissectrices de iiOQ.

Pour 2°, on observera que les bissectrices de MOM' font un angle

constant ±: '^ avec OM et OM'.]

48. Reprendre géométriquement la question proposée n° lo dvi Chapitre VI. (La droite PQ découpe des divisions homographiques sur la droite lieu de P et sur la droite de l'infini. On pourra généraliser en supposant que P décrit une droite quelconque du plan.)