X-,, — x^zzz 0 cos V^ a' + p si n V a
= cos V ( p «' ) -+- si n V' ( h p c' — c ph' )
^= cosV {x.^ — Xi) -h sin V[^(.:j2 — -^1 ) — t'( r^ — /i)],
en tenant compte de ( i ) ; d'oii
(4) J?:i = a^i(i — cosV) H- X.2 cosVh- (j'4 — y^)c s'm\ -h (-2 — ^1 )^sin V. On aurait r, et r^ par permutations circulaires.
EXERCICES PROPOSÉS
1. On donne les coordonnées rectangulaires du centre et d'un sommet d'un triangle équilatéral. Trouver les coordonnées des deux autres sommets, en supposant d'abord qu'on est en Géométrie plane, puis qu'on est dans l'espace et qu'on connaît les cosinus directeurs de la droite perpendiculaire au plan du triangle. (Cf. l'xercice résolu n° 3.)
2. Les axes Oxy étant rectangulaires, on donne les deux points Xiixj, fi) et A2{xo. r^)- Sur AjAj on construit un carré tel que son périmètre soit, orienté dans le sens du plan suivant A1A.2A3A4. Sur chaque côté, on construit ensuite un triangle équilatéral extérieur au carré. Calculer les coordonnées des sommets de tous ces triangles.
3. Les axes Oxjz étant rectangulaires, on donne deux points Ai(a:,, o, :;,) et A2(a:,, o, c^) dans le plan des zx. Sur ces deux points,
(') .Nous dc.signons par le syinholc .r„g un vecteur parallèle à ()ô eLa>aiil poiii mesure algébrique x sur cfiHc derni-droilt-.
COORDONNEES. 1 9
on construit un carré orienté comme dan? l'exercice précédent. On fait
— > tourner ce carré de Tangle 5 autour du vecteur Ai A,. Sur le carré obtenu et dans la région positive de son plan, on construit un cube. Calculer les coordonnées de-^ sommets de ce cube. ( Cf. Exercice résolu n° 1. )
\. Connaissant le- coordonnées de deux point-, trouver les coordonnées du symétrique de l'un d'eux par rapport à l'autre.
5. Connaissant les coordonnées du centre de gravité et de deux sommets dun triangle, trouver le> coordonnées du troisième sommet. Etendre la question à un tétraèdre.
G. Les droites qui joignent les milieux des arêtes opposée- d'un tétraèdre et celles qui joignent chaque -ommet au centre de gravité de la face opposée sont sept droites concourante-.
7. Etant donné un pentagone plan ou gauche. les droites joignant le milieu de chaque côté au centre de gravité du triangle formé parles sommets qui ne -ont pa- les extrémités de ce côté -ont cinq droites concourantes. Étendre cette question à un hexagone.
8. Etant donnés les deux points M,f-^o,7; — 4,6; -7-2,8; et M.2( — 3,6; — 5,8; -h 1,4). calculer les coordonnée> du point .M tel
mm; ..
que ^=- = — 1 ,00.
MM
9. Calculer les co-inu- directeurs de- demi-droites OÂ et O/.' définies par les paramètres directeurs (2.7; — 3,i; — 5, 3) et (3, — • 8, H- x ). Calculer l'angle V -< - formé par ces demi-droites. Le plan ÀO).' étant
orienté de telle manière que \( )/., O/// =: \ , calculer les cosinus directeurs de la demi-droite 0,a de ce plan définie par \0/., (J,u/ — o. ainsi que les cosinus directeurs de la demi-droite Ov perpendiculaire au plan et menée dans sa région positive.
On calculera les cosinus de O-j.. pour q = -, en décomposant le
vectt'ur unitaire de O/. -uivant O/. et Ou.
10. Connaissant les angles polaires (5, o) d'une demi-droite 0>., calculer les angles polaires {h' , 9') de la demi-droite O/.' symétrique de O}. par rapport à la demi-droite 0,u. du plan des œy qui a pour angle polaire, dans ce plan, un angle donné '^^.
DIAITrRK III.
11. Étant données deux demi-droites par leurs cosinus directeurs, trouver lés cosinus directeurs de leurs bissectrices intérieure et extérieure. Appliquer aux demi-droites OA et O// de l'exercice précédent.
(Faire la somme géométrique des vecleurs unitaires des deux demidroites proposées.)
12. Etant données trois demi-droites, montrer que les plans passant
par chacune d'elles et par la bissectrice des deux autres sont trois plans
concourants.
(Somme géométrique des vecteurs unitaires.) •
13. Soient une demi-droite O/. de cosinus directeurs a, b^ c et un point M de coordonnées x, y, z, trouver les coordonnées du point M' symétrique de M par rapport à OA. Même question en remplaçant 01. par une droite quelconque parallèle ou par un plan perpendiculaire.
I Les vecteurs OM et OM' ont pour somme géométrique le double de
la projection orthogonale de OM sur OX.J
li. On donne une demi-droite OÀ par ses cosinus directeurs a, b, c et un point M par ses coordonnées x, y, z. On fait tourner M autour de O}. d'un angle 6. Calculer les coordonnées a;', y', z' du point M' obtenu. Montrer que, si l'on pose
cos -
b si M - =
les formules obtenues sont rationnelles en },, /j., v, p.
Applicalion n urnérique : O A de l'exercice n° 9 ; M ( — 3^, h- :>3, — 66);
[Comparer à l'I'^xercice résolu n° 3, en introduisant le point M, projection de M sur OX. On doit obtenir les formules d'Olinde Rodrigues (t. I, Exerc, Chap. XXIV, Exercice proposé n° i).]
15. Etant donnés deux systèmes d'axes rectangulaires Oxy et Ox'y' de rnême orientation, soient z et z' les affixes d'un même point du plan par rapport à C(;s deux systèmes. Montrer qu'on a z=r z'.e'^, en posant
cû r= yOx.Oa;'
IG. Etant donnés deux tf-ièdres trii-ectangles Oxyz et Ox' y'z' de même espèce, trouver les points dont les coordonnées par rapport aux deux trièdres sont proportionnelles.
COORDONNEES. >.I
[C/. exercice résolu n'^ 2 et aussi t. I, Exerc, Chap. XXIN , Exercice proposé n" 3. On trouve, outre les points de 07 {loc. c<7.), les points des droites isotropes du plan mené par O perpendiculaire à OÂ. Expliquer géométriquement ce résultat.]
17. Dans tout système de coordonnées, on appelle lignes ou surfaces coordonnées les lignes ou surfaces le long desquelles deux ou une coordonnées restent constantes. Cela posé, on demande de calculer les angles polaires et les cosinus directeurs des demi-tangentes positives aux lignes coordonnées qui passent par le point M(o, 6^, o), dans le système des coordonnées polaires de Tespace, en supposant ces lignes orientées dans le sens où croît la variable qui ne reste pas constante.
18. Le trièdre Ox' y' z' étant défini, par rapport à Oxvz. par ses angles d'Euler, B, o, 'h, calculer les angles polaires et les cosinus directeurs de O:;' par rapport à ().r) .;. puis de O; par rapport à Ox'y z'.
19. On donne les angles d'Euler ^ =r 36°, 0 = 253", -1/ = — iio°. Calculer les formules du changement de coordonnées, les cosinus directeurs de l'axe OX et l'amplitude V de la rotation unique qui permet d'amener le premier trièdre sur le second. Calculer enfin toutes les déterminations qu'il est possible de donner aux angles d'Euler sans changer les irièdres.
[Cf. Exercice résolu n" '1 et proposé n" 14.)
2^. Calculer les coordonnées polaires des points ( -h 2 , i ; — 6,8): (—3,7; +B); (4-2,-^7); ( — 4,6; —10,8).
21. Etant donnés deux points O et O , on appelle coordonnées bipolaires d'un point M les distances rrriOM et /■':=0'.M. Etablir les formules qui permettent de passer de ce svstème de coordonnées aux coordonnées polaires de pôle O et d'axe polaire 00' et aux coordonnées cartésiennes rectangulaires dont Torigine est au milieu de 0<J et l'axe des j:suivant 00'.
