FM' M'„M
un cercle passant par Mo, M,, et de plan parallèle à Ox.
On constate que la condition de contact de MM' avec (So) est, toujours en prenant le signe -h indiqué ci-dessus, indépendante de l'ordonnée jS,, du centre de (S„). On en déduit l'existence des sphères ÇL).
Le centre I(a, [3, o) de ( U) décrit une hyperbole (H) du plan des xy . En écrivant la condition de contact de (U) avec une sphère quelconque (U'), on constate qu'on peut identifier cette condition avec l'équation de (H), et cela d'une infinité de manières. Le lieu du centre de (U') est l'ellipse (E) focale de (H) {cf. n°^ 584 à 58G).
On peut donner une démonstration géométrique de 2° .en menant par M une parallèle à (U'), qui rencontre M',, F en .\. On montre que
M^ = MMo=MF;
donc Mq.X est parallèle à O^, par exemple, et le plan ^MoM'(, est un plan fixe II, qui coupe (S,,) suivant un cercle r, lieu de F.
l^n coupant par un plan II, parallèle à II, on obtient les points Mj sur D, M', sur I)', F, sur A. On montre que A est tangente à la sphère (D) tangente en M, à I) et en M', à D'. Le centre de, cette sphère se trouve dans les plans perpendiculaires au milieu de MqF et au milieu de M'^ F. Il décrit Taxe de F.
ICn faisant varier soit M'„, soit M„, on voit que le lieu des centres des sphères (i) [ou (S)] est doublement réglé; c'est un paraboloïde hyperbolique équilalère, d'axe 0-.
Lorsque A varie, chaque point tel que F, décrit un cercle r,.1'ousces cercles ont même axe. honc A engendre un hyperboloïde de révolution, dont D el D' sont deux génératrices. Les points M et M' décrivent, de ce
fait, des divisions homographiques. On peut en déduire que le lieu de la projection sur a:Oy du centre de la sphère tangente en i\I à D et en iM' à D' est une conique.
[Le lieu du centre de (U) est la section de l'hyperboloïde ci-dessus par J7O V.]
10. Pour qu'une sphère soit isogonale à deux sphères orientées, il faut et il suffit qu'elle soit orthogonale à leur sphère d'isogonalité {cf. n° 173).
11. Les sphères isogonales à trois sphères orientées forment un réseau {cf. n° 176).
12. Les sphères isogonales à quatre sphères orientées forment un fais ceau. Quand l'orientation des sphères n'est pas donnée, il exi-te huit faisceaux analogues.
13. Etendre à la sphère les Exercices proposés n"* 12, 13, 14, 15 du Chapitre précédent.
14. Lieu des centres des sphères qui coupent trois sphères données sous des angles donnés. (Conique, dont le plan passe par l'axe radical des trois sphères.) iMontrer que ces sphères appartiennent loutts à un même réseau.
15. Soient quatre sphères orientées (Si), (S.2), (S3), (S4), appartenant à un même réseau, de centres O,, O^, O3, Oj, et de rayons Ri, Pu, l'^/Hi- Une sphère orientée quelconque les coupe suivant les angles \\. \\^ \ :j, \ •,. Démontrer la relation
aire O.O3O... K,cosVi— aire O3O4O1 .R^cosYa 4- aire O.Oi0.2.P>3Cosy3 — aire Oi 0203.114 cosVi = o.
Que peut-on en conclure relativement à l'exercice précédent? {Cf- Exercice proposé n° 17 du Chapitre XL)
16. On donne trois sphères orientées (S,), (Sg), (S3), de centres non en ligne droite. Trouver le lieu des centres des sphères (il) tangentes à ces trois sphères orientées. Montrer que lesdites sphères passent par deux points fixes et qu'elles sont tangentes à une infinité de sphères (S) passant, elles aussi, par deux points fixes et dont on cherchera le lieu
IIaag. — Exercices, II. 10
l46 CHAPITRE XII.
des centres. Quel est le lieu des points de contact des sphères (2) avec une sphère (S) ou des sphères (S) avec une sphère (i)?
[On prendra pour axe des z l'axe radical des sphères (Si), (So), (S3), et pour plan des j:y le plan des centres, l'axe des a; étant, en outre, perpendiculaire à l'axe de similitude (A). Si a désigne l'abscisse de cette dernière droite (parallèle à O/), le rayon R^ de (S,) est de la forme
OC/ désignant l'abscisse du centre de (S/) et k une certaine constante.
Le lieu des centres de (i) est une conique (C) d'axe Ox et de plan zOx. Les points fixes sont les points de rencontre de (A) avec le cercle orthogonal aux sphères proposées. Si a et R sont l'abscisse du centre et le rayon de (i), on a
a = Rk.
l^es sphères (S) passent par les points communs aux trois sphères (Si), (So), (S3). Le lieu de leurs centres est une conique, focale de (C). Si a' et R' sont l'abscisse du centre et le rayon de (S), on a
Le lieu des points de contact des sphères (i) avec une sphère (S) est un cercle, dont le plan passe par 0 z. Le lieu des points de contact des sphères (S) avec une sphère (2) est un cercle, dont le plan passe par (A). {Cf. Exercices n°* 9 et 14, et aussi n°587).]
17. Etendre à la sphère les Exercices proposés n°* 18, 19, 20 du Chapitre précédent.
18. Etendre la théorie des cercles isogonaux (n°* 175 et 176) aux cercles tracés sur une sphère. (S'appuyer sur le n° 190 et sur l'Exercice proposé n° 10. )
19. On considère les cercles C de la splière U, de centre 0 et de
-> rayon i. Si I est le centre de l'un d'eux, on |»eut l'orienter autour de 01
— > ou de 10 (n° 27). Suivant le cas, on considérera son rayon algébrique /•
comme positif ou négatif.
Cela posé, au cjcle C, on fait correspondre le point P de 01 tel
que \V = ir, c'est-à-dire le centre d'une des sphères de rayon nul pas-
LA SPHÈRE. l47
sanl par G. ( Le centre de l'autre sphère correspond au cvcle orienté dans le sens opposé de G. )
1° Galculer Téquation du plan et les coordonnées du centre de C en fonction des coordonnées a, ,5, y de P.
2° Etant donnés deux cycles G et G' représentés parles points P et P', calculer le cosinus de leur angle ^ en fonction rationnelle de a, 3, y,
3° Si G' reste fixe et V constant, le lieu de P est une sphère S passant par G'. Galculer l'angle \ ' sous lequel elle coupe U. Montrer que,
si V = — j S est orthogonale à U, et que, si V = o ou r:, S est une sphère
de rayon nul.
Réciproquement, si P décrit une sphère fixe S, le cercle G coupe un
cercle fixe G' sous un angle constant, qui est égal à — > si S est orthogonale à U, à G ou à ::, si S est de rayon nul.
4° Si G coupe deux cercles fixes C, et G^ sous des angles constants V, et Vj, P décrit un cercle F, qui passe par l'intersection de G, et de G^. En conclure que tous les cercles G coupent sous un angle constant tout
cercle G' du faisceau sphérique (Gi, C-y). En particulier, si ^ i =: ^2= ~
ou bien si Gi et G2 sont de rayon nul, les cercles G' forment un faisceau orthogonal au précédent. Dans ce cas. et dans ce cas seulement, le cercle F est orthogonal à U.
5° Les cercles G isogonaux à deux cercles fixes sont tous orthogonaux à un cercle de leur faisceau, qui est leur cercle d'isogonalité.
6° Montrer qu'il y a deux cycles coupant trois cycles donnés sous des angles donnés.
[Pour calculer l'angle V. il est commode d'évaluer le produit scalaire
des vecteurs IP et l'P', en utilisant la formule (1) de l'Exercice proposé n° 11 bis du Ghapitre \ III.
Le lecteur pourra reprendre tout ce qui précède en considérant les cercles G du plan des xy.^
TANGENTES ET PLANS TANGENTS
EXERCICES RÉSOLUS
1. Étant données deux courbes orientées (C) et (Cj), soient M et Mj deux points variables quelconques pris l'un sur (G), l'autre sur (Ci). Soient s Vabscisse curvilii;iie de M et MT la demi-tangente positive en ce point, 5, f abscisse curviligne de Mj et M/Pj la demi-tangente positive en ce point. Démontrer que la différentielle de la longueur MM, est donnée par la formule
(i) f/. MM, =r — rf5 cos M, MX — ^,v, cosMM, T^.
Soient .r, y, z et .r,, y,, z^ les coordonnées de ces deux points. On a
MM, ={X — X^y--^ (y j,)2,(:;;,)2.
d'où
(2) MM,.rfMM,
--= {x — x^) (dx — dxy) -i- ( y— yi) (dy—dyi)-h{z — -i) {dz — dzi).
Appelons a, 6, c les cosinus directeurs de MT ; a,, />,, c, ceux de M,T,; a, [3, y ceux de la demi-droite MM,; «1,(3,, y, ceux de la demi-droite M, M. On a ( n° 193)
dx =: a ds, dy =: b ds., dz r:= c ds,
dxf=:aidsi, dy^=ib^dsx, dz^^^c^ds^;
MM, " MM, — r— rn jy^yj^
Moyennant ces formules, l'équation (2) peut s'écrire, en ordonnant par rapport à ds et c/5, et divisant par MM,.
o?MM|=r fl?.v( — «a— 6[3 — cy)— (^^,(«,«1+ 6,(3,4- c,y,).
Mais, d'après la formule générale (21) du 11" ;{| , cela n'est autre que la relation (1) qu'il s'agissait de démonlrer.
TANGENTES ET PLANS TANGENTS
Solulion géoinétriijue. — Soit M'Mj une position infiniment voisine du segment MM,. Projetons Tegalité géométri({ue
MAI, = iMM' 4- M' m; h- m; m,
sur la droite iMMj, orientée de M vers M,. La projection de MM, est la
longueur / de le vecteur. La projection de M'M', est {l -^ cil) co'sc,
z désignant l'angle \MMi,M'M',j. Cet angle étant infiniment petit, son cosinus est égal à i, au second ordre près; de sorte que la projection
de M'M', peut être remplacée par / + cil. Le vecteur M'M' est infiniment voisin de la tangente Mï et peut être considéré comme ayant pour mesure algébrique ds sur cette tangente. Sa projection sur MM, est donc
6?5cosM,MT.
De même, la projection de AI, M', est
clsi cos ( MM,, MjT,) = — dsi cos MM, T,.
Finalement, on peut écrire, aux infiniment petits du second ordre près,
/ = f/^ cos M 1 MT + / + r^/ + f/j, cos M M, T , ; d'où
dl
ds cos M, MT — dsi cos MM,T,.
Remarque. — Le raisonnement précédent, qui est le type des raisonnements de Géométrie infinitésimale, ne doit pas être considéré comme un raisonnement approché, sous prétexte qu'on a négligé des infiniment petits du second ordre. Il est parfaitement rigoureux, à la condition de ne pas considérer, dans la formule (3 ), les quantités dl, ds, dsy comme les accroissements des variables /, .ç, Sy, mais seulement comme les parties principales de ces accroissements ou, ce qui revient au même (t. 1, n° 138), comme les difTérentielles de /, s. 5,.
2. Étant donnée une courbe plane C, on projette le point fixe O, en P, sur la tangente MT à cette courbe.
1° Montrer que la normale en P à la podaire passe par le milieu I de OM.
l3o CHAPITRE XIII.
2° Le point O est un point multiple d'ordre égal à la classe de C et dont les tangentes sont perpendiculaires aux tangentes à G issues de O.
1" Soient x,y les coordonnées de M et a l'angle polaire de MT. L'équation de MT s'écrit
' (X — x)s\ï\y. — (Y — y ) cosa = o. On en déduit sans peine que les coordonnées de P sont
(i) .r,:z; >, sina, y,--— /.cosa,
en posant ,
(2) X = ursina — y ca^y..
L'équation de la normale en P à la podaire est ( n° 209)
(X — ,^1) dx^-^ (Y — r'i) dy^=i o.
Écrivant qu'elle passe par I ( — ' — )' nous avons la condition
( 3 I ( .r — 2 /. sin a ) dx^ + ( j + 2 /. cos a ) dy^ = o.
Or, de (i), on lire
dx^ — cD. sina + >. cosa^a, dyi^r— cD. cosa +"A sina da.
Portant dans (3), notre condition devient
d'/. ( ^ sin a — y cos a — 2 >. ) + l- (^^- ( -^ cos a + j sin a ) = o
ou. en tenant comple de (2) et divisant par /,
(4) — <r//. + f/a(:r cosa +v sina) = o.
Or, cette équation n'est autre ((ue ré(|ualion (2) diflTérentiée, si l'on se souvient que dx et dy sont proportionnels à cosa et sina. Le lliéorènie est donc démontré.
2° Le point P vient en O lorsque .ALr passe par O. Or, ceci arrive /> fois si p est la classe de C. Donc, O est un point multiple d'ordre />. Quand P tend vers O, OP tend vers la perpendiculaire à la tangente OMT. Les /> tangentes en O à la podaire sont donc perpendiculaires aux p tangentes à C issues de O.
TANGENTES ET PLANS TANGENTS. t3I
