Trouver les points multiples de la courbe
ht-— Il 4 Z-^— 7 /--f- 8^ -4-4 (i) x^=i -r- , y=
Appliquons la méthode générale du n° 201. Nous avons le système
(3) (4^^— 7t'24-8^H-4)(2r+i) — (4^'3— 7«'2+8^'-+-4j(2^ + i) = o ou, en divisant par t — t' et posant t -v- t' ^:. p, tt' =z q^
(5) %pq -\- [\p-—l%q — -p=iO.
Eliminbns q\ il vient, tous calculs faits, (6.) 4/^' — 9/^ + 2 = 0,
dont les racines sont 2 et -• En portant dans (4), on a les valeurs cor-
respondantes de » : i et — tt-- Finalement, les paramètres des points
doubles sont donnés par
La première équation admet la racine double ^ = 1. Il lui correspond donc un point de rebroussement (n° 202), dont les coordonnées sont j7 =: I, jK = 3. Pour ^voir la tangente en ce point, on peut employer bien des méthodes. Par exemple, posons ^ =: i -t- A et cherchons les parties principales de j: — i et de j' — 3 :
(y-^ = Vr-r. - = -TTr7 = 3^"("^---)-
La limite du rapport — est 5; c'est le coefficient angulaire de la
tangente cherchée.
Léquation (8j admet pour racines —^ — -• En portant l'uneoii l'autre
l5i CHAPITRK XUI.
de ces valeurs dans (i), on obllenl
Telles sont les coordonnées du point double. Pour avoir les tangentes, calculons les dérivées
(lO)
Tu ~' {[^t^ — iY ~ i^i'—if
dt
{it + iy
On vérifie, en passant, qir'elles s'annulent toutes deux au point de rebroussement / := i (n"202). En les di\isanl membre à membre, on a le coefficient anî^ulaire de la tangente
dy f(8^ + 7)(2/ — iV dx l\t — I
Pour / r= 3^ > <^" trouve, en posant £=±^7,
dy 3 pe — 28 20 — 75
dx 32 £
o,o^G et 1,204.
h. Quel est le lieu des /)oints de contact des plans tangents menés j>((r tui point donné de Ox à la surface définie par les équations paranié- J rifjues
Le plan langent au point M
a pour é(|ualion (n° 203)
ou, tous calculs faits,
2X(/it^'--- u') + 2Y(« — 4r) +7.{u- (')-i-/'' + //^t' — V"'' — A'''"0,
<i!i encore
(u) 2 X (4 ('î - If") + 2 Y ( a — 4 p) + Z(« - r) + ( « + r) (/■/■^— 4 t^') = o.
TANCiENTES ET PLANS TANGENTS. 1 53
Ecrivons que ce plan passe par le point P(«, o, o) de Oj; :
Cette équation définit le lieu demandé, en coordonnées curvilignes sur la surface. Elle se décompose en trois équations du premier degré.
