III. u -k- {' z=z%a. — Portant dans (1), il vient

(10) x^zia, y-^v{ia — *'), zz:^{'2,a — vY-\-[\v'-.

Le lieu correspondant est une parabole (H"), située dans le plan symétrique de j'O:; par rapport à P et dont la projection sur yO.; a pour

l54 CHAPITRE XIII.

équation

(il) (5j + ^ — 4«")-— "2rt-(2/ -f- r — 4«-) = O.

Si l'on remplace u par 2a — c dans (2), on obtient l'équation (12) ( — 4r/-2+4a('-l-3r2)(X — «)+Y(2« — 5(0 + Z(rt — (') = o,

qui représente cette fois un plan variable, passant par P. L'enveloppe de ce plan a pour équation (n° 280)

(i3) [5y -^ z — lia{j^ — a)]'- — i2a{x — a) [2 v -h z — f^a(jc — a)] = o.

C'est un cône du second degré, ayant pour sommet P et pour base la parabole (H"), le long de laquelle le cône est circonscrit à la surface proposée. A titre de vérification, on doit, en faisant ce =z 2a dans (i3), retrouver (11) ; c'est ce que le lecteur constatera sans peine.

En résumé., le lieu des points de contact des plans tangents issus de P se compose des trois paraboles (II), (11'), (H"). Le cône circonscrit à partir de P se décompose en deux plans, à savoir les plans de (H) et de (II') et en un cône du second degré, de base (H").

5. Les lettres A, B, C, /, g représentant cinq polynômes quelconques en JC, >', z, démontrer que la surface

admet pour points doubles tous les points de la ligne

Désignant par F(.x', y, z) le premier membre de (i), vérifions que les quatre dérivées F'^., F^, FI, F', sont nulles tout le long de (2). On a, par exemple,

F',^A[,.p+B'^/g -+^C^.g'-+ 2A//.[.-^ B{fg',.-i- g/:^) + 2Cgg',..

Celte expression s'annule évidemment pour /zz: ^ m o. On démonlrerait, ])ar un calcul analogue, qu'il en est de même de F^., Fj, FJ.

Je dis maintenant que les dérivées secondes de F ne s'annulent pas, en général, le long de la courbe (2). En elTet, V'[.t, par exemple, renferme des termes ne contenant en facteur ni y, ni g., à savoir

Cette expression, et par conséquent F'^i, ne s'annulera j)as en général

TANGENTES ET PLANS TANGENTS. 135

SOUS la seule condition que/ et ^ soient nuls. Il suit de là (n"^ 206) que tous les points de la ligne (3) sont bien des points doubles et des points doubles seulement. La ligne (2) est appelée ligne double de la surface.

Autre détnonslration. — Soient P un point quelconque de la ligne (2) et PÂ une sécante quelconque issue de ce point. Formons l'équation aux Q des points de rencontre de celte sécante avec la surface, en prenant le point P pour origine des p (n'' 93). Dans le premier membre de celte équation, / renferme p en facteur, puisque P annule/. De même, g renferme 0 en facteur. Il s'ensuit, de manière évidenle, que F renferme pen facteur. Donc, quel que soit P/., le point P appartient deux fois à l'intersection ; c'est donc un point double.

Remarque . — Le théorème est évidemment vrai en Géométrie plane ; mais alors les points doubles sont les points de rencontre des deux courbes /=ro, gz=zo.

6. Étudier les tangentes et les normales menées par un point quelconque de Ox à la courbe

1° Tangentes. — L'équation de la tangente au point M(j?, •>■) est (n° 197)

Écrivons qu'elle passe par le point P(a, o ) :

( 3 ) a{Zx- — I ) -h y- — 2^ = 0.

Les points de contact des tangentes cherchées sont déterminés par le système (i), (3). De (ij, on tire

Portant dans (3j, on a l'équation aux x des points de contact : (0) x'^ — iax- -^ X -\- a ^= o .

Ayant j?, on a y par (4), ce qui donne deux points symétriques par rapport à Ox.

Il y a donc, en tout, sir tangentes issues de P. Mais elles ne sont pas forcément réelles. Pour qu'une racine de (oj conduise à deux normales réelles, il faut et il suffit qu'elle soit réelle et comprise entre — x et — i ou bien entre o et 4-i, afin que V" soit positif. On pourrait faire la

discussion complète en exprimant ces conditions au moyen de la théorie des équations algébriques. Nous préférons suivre une autre marche, plus simple et plus générale (' ). Nous allons calculer a en fonction de x et étudier ses variations quand le point M décrit la courbe. De (5), on tire

11 faut étudier les variations de celte fonction, quand x croît de — go à — ^ et de 0 à +1. Cela ne présente aucune difficullé. La dérivée est

da di

Elle s'annule pour .r = — 4 / i- p==— i.46S. On a la courbe

{fig. :-0) et le tiibleau ci-dessous

— "ji

— ce