On donne la surface

xyz =

I" Calculer son éqnaLion langcnlielle.

2° Calculer les plans tangents passant par la droite

oc -^ y — ^-t-2 = (), IX — y -^Zz — ir=:o.

3° Quel est le lieu des pieds des normales abaissées des différents

TANGENTES ET PLANS TANGENTS. iSg

points de Oxt Discuter leur réalité. Calculer celles qui sont issues du point (2, o, o) .

1° Le plan tangent au point M(j7, j, z) a pour équation (n° 20i)

Xyc -i- Y zx -h "Lxy — 3 = o ou

Si on l'identifie avec le plan

(3) »j? + cj + M^^ + /■ = 0,

on a

?>u " '6v " 3ti'

Portant dans (i), on a l'équation tangentielle

(5) 27 uvw 4- r^=i o.

2° Les plans demandés sont de la forme

(6) (2 + >.)'^ + (— I + >')/-^(3 — A)^— I-^2>.=rO.

Ecrivons qu'ils vérifient (5) :

27(2 + >0 (X - I) (3 - >,) + (2A - i)^ = o. Par substitutions successives, on trouve les racines

En portant dans (6), on a les plans cherchés. En appliquant ensuite les formules (4), on a leurs points de contact. On trouve ainsi les trois points

3° Les équations de la normale en M sont

(7) {X~x)xz=(^Y-y)y = {Z-z)z.

Ecrivons qu'elle passe par le point P((7, o, o) :

l6o CHAPITRE XIII.

Quel que soil T, on a

donc, le lieu demandé se compose des deux cubiques, sections de la surface par les plans bissecteurs du dièdre (O.ry^ Occz).

Pour avoir les normales issues d'un point P donné, il faut résoudre le système (i), (S) par rapport à j^, t, z. Nous avons

(io) y = ^=- (t=±i);

puis

aet enfin

(a — a;)jc:=

ou

(12) , cc'^ — aa:- — s r= o.

Ayant une racine de cette équation, on a ;; par (i i), puis j>' par (10) ; cela donne deux normales symétriques par rapport à O ,r. Elles sont réelles si r est réel et du signe de s. Or, si £ =z: + i , le polynôme (12) présente une seule variation, quel que soit le signe de a. Donc, d'après le théorème de Descartes (t. I, n° 252), il y a une seule racine positive. Si £ = — I, on voit de même (ju'il y a une seule racine négative. On conclut de là que, dans tous les cas, il y a quatre normales réelles, deux à deux symétriques par rapport à O^.

Pour a ^= 2 , on doit calculer la racine positive de

et la racine négative de

La première donne, par substitutions successives.

La seconde admet la racine .r = i. l"^n la divisant par .r — i, on a l'équalion du second degré

dont la racine négative est

TANGENTES ET PLANS TANGENTS

iGr

0,6)8: d'où les deux, pieds

iti 1 ,272.

EXERCICES PROPOSES

1, Sur chaque tangente Mï à une courbe (Cl), on prend deux points quelconques 1' et P', assujettis à la seule condition que 1*1^' garde une longueur constante. Démontrer que les plans normaux en P et P' aux trajectoires de ces points se coupent suivant une droite du plan normal en M à ( C ).

(Introduire les coordonnées .r,j^, ;3 de M, les cosinus directeurs r/, h,c de MT et xMP^^o. Le plan normal en P coupe le plan normal en M suivant une droite (|ui ne dépend que de d^ et non de p.)

■1. Etant donnée une courbe plane, la tangente en M rencontre O.r en A et O v en B. Soit P le (juatrième sommet du rectangle qui admet pour côtés OA et OB. Montrer ([ue la tangente en 1* au lieu de 1* est symétrique de PM par rapport à PA.

(Calculer les coordonnées de P en fonction de celles de M et de l'angle polaire de la tangente.)