Calculer le degré de la surface représentée par VéquaLion

( I ) \/.r H- sjy + V''- = • •

Rendons l'équation rationnelle. l]ciivons-la

et élevons au earré

( 3 ) y -^ z ^ 'X \jyz r= I + .r — 2 \Jx.

Isolons le radical 2y/)'^ et élevons encore au carré,

Isolons le terme en \/j7 t-t éi(;vons encore au carré,

La surface est du quatrième degré. [Cf. Chap. XVIII, E\.€rcice résolu n" lî. )

lîei)iar(iues. — 1. 1. 'équation (1) est symétrique en .r, y, ^ ; l'équation (5) doit donc l'être ausNÎ. ( )n le vérifie en développant les calculs et ordonnant. On trouve

(6) {x- + y- -[- z- — xyz — 9.ZX — 2^/)'

+ y"- X -^ z-x -]- z''-y — loxyz ) + 6{x- -1- y- -h z-)

-+- 4 iyz -+■ zx -^ xy) — li{x -\- y -\- z) -\- i^^o.

On peut procéder aulrement. De l'équation (4). tirons 4 \/>2?, permutons circulaireuient et ajoutons, en tenant compte de (i),

En chassant les dénominateurs, on doit retrouver (6). Autrement, l'équation (4) s'écrit

(\{'>.X ~V- \ — S) \f7c z=:{.X — V — zy — LiJZ ^ 6x — 2 Y — 2 Z -\- 1

en posant

'è = X -r- y H- ^, X z= X- -\- y- -j- z^ — ■>. yz — • -i zx — 9. xy.

l'ermutons circulairement et ajoutons, en tenant compte de (i),

Dautre part, multiplions ( 3 ) par \x, permutons et ajoutons, en tenant toujours compte de (1). il vient

^A^ LiS — S(xs/x-h- y\'y -h z\Jz)

= 8 './a^yz (\x + \/y -t- \/^) = 8 \/xyz.

En ajoutant à (8), on a Téquation

8 \'xyz =z A — 2 S + 1

qui, élevée au carré, devient

II. Nous sommes assurés que l'équation (i) entraîne les équations équivalentes (5 ). (6), (7). (9). Mais, la réciproque n'est pas vraie. Pour s'en rendre compte, il suffit d'essayer de remonter la chaîne des équations (5), (4)- (3), (2). De (5) à (4)7 nous obtenons un double signe devant le radical \/x et pouvons seulement écrire

en posant £=±1. Puis, désignant par î une nouvelle unité positive ou négative, indépendante de ;,