s' \^yz ^1 — X — y — z -+- '.ic \^x

■i\ CHAPITRE IV.

on

(3') (^y-^^'^'l.y = (^-i-^^,Gy.

Enfin, c elant encore égal à ± i et indépendant de s. z' . Finalement. l'équation (5) entraîne seulement Tune de? équations

on les doubles signes peuvent être associés arbitrairement.

2. Quelle esi la condUioii pour que la courbe définie par les équations paramétriques

(l) X:=C0SCp, Jr=COSmcp

so/7 algébricfue ? Quel est alors son degré ?

Je dis que, si ni est incommensurable^ la courbe est transcendante. Pour le prouver, je vais faire voir (|ue les valeurs de ) , qui correspondent à une valeur donnée de ,r, sont en nombre infini, ce qui ne saurait être si la courbe était algébrique.

En eflet. prenons .iczrrcosa. Les valeurs o = a + 2X-. où k est un entier quelconque, donnent toutes k x \di même valeur. J^es valeurs corre-pondantes de y. soit )'/^.:= cos( ma H- ?./i7?î~), sont les cosinus des arcs terminés aux. sommets d'une ligne polygonale régulière dont chaque côté sous-tend iniT.. Ce dernier arc est incommensurable avec la circonférenc»; trigonométrique; donc, la ligne polygonale ne se ferme pas; elle a une infinité de sommets distincts, auxquels correspondent nécessairement une infinité de cosinus et, par suite, une infinité de valeurs de V/.-.

Je dis maintenant que, si m est comi>iensurable , la courbe est algébrique et mrnie uniciirsale. En effet, soit - la fraction irréductible qui

égale m. Si l'on pose — =:: d, on a

.r = cos^'j/, yz=zco%p^h.

On --ait, d'autie part (t. III), que ces cosinus peuvent se mettre sous la forme d(; polynômes en cos'i/, de degrés respectifs qeip. Si donc, on pose cos'h =z t. on voit que la courbe est unicursale et a pour degré le plus grand de-> deux nombres/) et q.

Remarque. — Dans le cas où m est incommensurable, il y a une infinité de valeurs r^. qui approchent tout nombre donné y <; i de moins de î, si petit que soit z. Soit, par exemple. v = C0Sj3. En verla delà continuité de la fonction cosinus, il revient au même de dire qu'il existe une infinité de valeurs de k pour lesquelles l'arc rtiy. -k- ikrtir. approche j5. à un multiple de 27: prè^. de moins de î. Autrement dit. l'inégalité

\jny. — >. km 7. — ^ — 2 k' — | <C £

doit avoir une infinité de solutions entières en /.'. /.'. En divisant par 2 —

3 — lu'j. . • . I

et posant ^ — == A, on arrive a la proposition suivante :

Étant donnés un nombre irrationnel m, un nombre quelconque A et un nombre positif z aussi petit qu'on veut, il existe une infinité d entiers k, k' vérifiant l'inégalité

Or, c'est là une proposition bien connue de la théorie des nombres (').

(') Voici une démonstration élémentaire de cette propriété, qui nous a été communiquée par M. Chatelet.

Etudions les nombres X = km — /.'. X ne peut éire nul que si /." = /.' — 0. car ni

ne peut être égal à ^, parce qu'irrationnel. Deux X sont différents, dés que leurs

nombres constitutifs A' et k' \.e sont, car leur différence est un X.

// r a une infinité de X entre o et i, obtenus en donnant à k toutes le.*; valeurs possibles et prenant k' égal à la partie entière de km.

Il y a une infinité de X de valeur absolue <C z. Soit, en effet, un entier X'. tel

que :y^î- Partageons l'intervalle (o, i) en X intervalles égaux à—. Dans l'un au

moins de ceux-ci, il, y a une infinité de X, puisqu'il doit y en avoir une infinité dans leur ensemble (o, i). Si nous retranchons les X dudit intervalle de i"un d'entre eux,

nous obtenons une infinité de nouveaux X tous inférieurs en valeur absolue à -t>

IN donc à t.

Je dis que, parmi ces X, il y en a une infinité constitués par des nombres k et k' premiers entre eux. En ed'et. si /.' et k' ne sont pas premiers entre eux, en les

divisant pai- leur plus grand commun diviseurc, on est conduit à un nombre X„ = ^

de valeur absolue évidemment plus petite que £. Les X de l'intervalle ( — î, -\- z) sont donc des multiples des X,, du même intervalle à nombres constitutifs premiers entre eux. Si les X,, étaient en nombre fini, leurs multiples seraient visiblement en nombre fini dans l'intervalle considéré, ce qui n'est pas.

Je dis maintenant qu'à tout X^ on peut faire correspondre un X approchant A de moins de t. Il suffit de prendre pour X la valeur approchée p\^ de A à .X,, prés par défaut. Comme | X J < s, on a, a fortiori, | A — X | < | X^ | < ï.

Les X ainsi obtenus sont tous différents et par suite, en nombre infini, car si deux

On peut conclure de ce qui précède la curieuse propriété suivante de la courbe (i) :

Etant choisi arbitrairement un point P dans le carré qui a pour centre O et dont les côtés sont parallèles aux axes et ont pour longueur 2. il existe une infinité d''arcs de la courbe qui passent à une distance de P inférieure à toute longueur donnée.

Il suffit, en elTet, de considérer les arcs qui passent par les points (j7, y^.) précédents, en prenant pour x^=iCO%y. et r = cos3 les coordonnées du point P.

3. Equation d' une section plane dans son plan. — Soit une surface (Sj définie par Téquation

On la coupe par un plan P et l'on veut avoir l'équation de la section par rapport à des axes situés dans ce plan. La méthode générale consiste à faire un changement de coordonnées tel que le nouveau plan des œy^ par exemple, soit parallèle à P. La solution est ensuite évidente.

Bornons-nous à considérer le cas des axes rectangulaires.

Si a. 3, y sont les paramètres directeurs de la perpendiculaire O:;' à P, on calcule les cosinus correspondants a", 6", c" (n" 25). Puis on prend un axe Ox' perpendiculaire à O^' et qu'on peut, pour simplifier, choisir dans un des anciens plans de coordonnées, par exemple dans .rO v. On a alors c^o et a" ci -\- b b =: o; on en déduit a, b, c. Enfin, on a a'^^b'c — c'^; etc. On n'a plus qu'à remplacer, dans (i), x,y. z par les formules (3i) du n° 35.

Il peut arriver que l'on connaisse les angles polaires 9, o de O.:'. Dans ce cas, on peut faire le changement de coordonnées par les formules

fi'entte fux /;\„ et y>'.\o étaient égaux, on aurait, en désii;nant par {x^,, y\) et {x„, jKÔ) 'es nombres constitutifs de X^ et XJ,

px„=p'x\, pyn = p'y\;

d'où

ce qui entraînerait a;,, = .rj, et y„ = y„', puisque les deux fractions sont irréductibles.

Finalement, nous avons bien prouvé qu'il y avait une infiniti' <b- X tels que I \ - A |< s.

Le lecteur, qu'intéresserait ces sortes de considérations, lira avec fruit l'Ouvrage de M. CuATELET : Leçons sur la Théorie des nombres ( Gautbier-Villars).

UGNES ET SURFACES.

d"Euler ( a° 36). en prenant '; pour angle de nulalion. '^ — - pour angle de précession et zéro pour angle de rotation propre.

i. Former les érfuations des cylindres projetant la courbe C :

((I xvz — X- — ^•^-T-^-=;o,

1^1 ' X- -^ X ^- y -^ z znz o.

Projection sur ./ U >-. — Nous éliminons ;. en l irant cette variable lie (2) et portant dans (i) :

xy {x--^ X — y ) ^ x--i- y- — {x-— x — y)-

ou

La couibe se décompose en ( ) v et une courbe du troisième degré. (>eci nous prouve que la courbe C de l'espace se décompose aussi, l'un des éléments de décomposition devant se trouver dans le plan des r.;. F.tïectivement. si Ion fait x r= o dans les équations (1) et (2). elles se réduisent re>pectivenient à

z- — y-=z:o et y — z=zo.

La seconde bissectrice de l'angle i <> - appartient à la courbe C.

Projection sur x(^z. — Nous éliminon- y et trouvons, par un calcul analogue au précédent.

( 4 ) X \^X- ( X — z j — ■> x- ^ Z-- 3 ZX 2 ; ] = o.

La courbe se décompose encore, comme nous pouvions celte foinous V attendre, en C) z et une courbe du troisième degré.

Projection sur r^jz. — Nou- éliminons j:- . Les deux équations sont du second degré par lappinl à cette variable. Nous appliquons donc la lormule 1 14) du n'' 23i du Tome I :

{y — z — y-— -■')'— (' - ^y^) {y — -■) iy^ — j— ^) = o.

D'après ce que nous savon-, le piemier membre doit renfermei' y + ^ ea facteur. Effectivement, le premier terme s'écrit ( y-T-z)-[i-^z — yf. Si nous supprimons ce facteur, il re-te 1 équation du cinquième degré