De terminer les asyniptotes de la courbe

i{t-hiy (/-ij-

et la position de la courbe par rapport à ces asymptotes. Les valeurs de t qui rendent x. y infinis sont o, — i, zc.

I. t^^o. — X seul est infini: y ii^ -J- ' • ^ ^" ^ donc une asymplole parallèle à Ox et d'ordonnée -h i.

La partie principale de .r est —; celle de v — ^i est — t-. On a la disposition indiquée par la figun- 17. la branche de gauche correspondant à ^ < o et celle de droite à / >- o.

II. / - — I. — En appliquant les règles ordinaires, on trouve que —

tend vers 2 et que y — -ix tend vers l'infini, ce qui indique une branche parabolique. Nous conseillons au lecteur de faire ces calculs. Nous allons procéder autrement, en employant les développements limités de x et de y suivant les puissances de // = ^ -f- i (n°232). En appliquant la méthode générale du Tome I (11° 117), on trou\e

Au point M (.r, y 1, faisons correspondre le point M' [x' , y') (^) .•• -^-3, / = ^^-h|-3.

l~\ CHAPITRE W.

(Hiaiid /i varie, ce poinl décrit une parabole V, qu'il est facile de construire { /ig-. 17). D'autre part, le vecteur M'M a pour projections sur les

axes

Fig. 17.

Il est iiiliniuu'ut petit avec h. Donc, la courbe proposée admet P pour

parabnle asymptote. En outre, le vecteur M'AI (;sl sensibleuienl parallèle a ( > 1', puisque^ — x' est du second ordre en A, tandis que/ — j' est du premier ordre. Gela permet de trou\er la position relative des deux courbes. Pour A > o, M est au-dessus de M' et, pour h - ; o, il est audessous. Dans tous les cas, il est extérieur à la parabole ( //i,^ 17).

lll./rrrcc. — ret y deviennent inlinis; — lend vers i . Puis ^ X

tend vers — 1. On a donc l'asymplole