CONSTRUCTION DES COURBES PLANES

points. On voit que lorsque x croit de o à -■> x\ c'est-à-dire r. décrail

de i à - '

La tangente au point A(o, i) a pour coefficient angulaire la valeur, en

ce point, de

, dy \o[ix — I

Ka) -j- -^ 7-^ '

dx 'ogy — 1

valeur qui est égale à — co. La tangente est donc Oy.

Au point Bf->- j) le rapport (4) se présente sous la forme -^•

L équation ordinaire de la tangente devient illusoire. Il faut employer une méthode spéciale.

I^ortons l'origine en I) :

Léquation (ii devient

- - \ ) [log(. + eX) - loge] = f^ + y) [log(. + e\) - log.>]

\[log(i ^eX)— i] — Y[log(i^eY) — 1]

log(i + eX ) — log (i — e\

Fitr. 24.

Comme nous avons affaire aux petites valeurs de X et de Y, nous pouvons développer suivant les puissances croissantes de ces deux variables. Nous avons, en nous limitant aux termes du second degré.

X(eX - j) - \{e\ i) + X - Y - -(X2- Y^) 4- . . . = o

igo CHAPITRE XVI.

OU

les termes non écrits étant du troisième ordre au moins.

En appliquant le théorème du n° 1!)9 ('), on voit t^ue le point B est un point double, les tangentes en ce point étant parallèles aux bissectrices. La première bissectrice était à prévoir comme tangente, puisqu'elle fait partie de la courbe. Reste la parallèle à la seconde bissectrice, qui est la véritable tangente cherchée. Nous avons finalement la courbe ci-dessus {Jig. 24). (Unité de longueur : « = iS™™.)

Remarque. — La méthode employée pour cette construction peut être appliquée à toute courbe définie par une équation de la forme

(7) /(^•)=/(j)- On construit la courbe auxiliaire z =zf(,f).

0. Conslriiire la courbe (') {x'-~i){x'^ — y^) — (j — i)(.r-+ v2- 3).

On ne peut songer à discuter cette équation ni par rapport -ajc^ ni par rapport à y. Par contre, la méthode des régions (n® 250) est tout indiquée. Les facteurs des deux membres donnent des droites et un cercle, tracés sur la figure 20, en trait pointillé pour les facteurs de gauche, en trait mixte pour les facteurs de droite.

En substituant le point à l'infini sur O.r, on obtient les signes 4- à gauche, - à droite. La région correspondante est donc impossible et l'on'en déduit toutes les autres.

Nous avons comme asymptote la première bissectrice, la position de

la courbe étant donnée par/ — x =^ — — — + . . . . Une asymptote, qui

compte pour deux (asymptote de rebroussement), est <)/ ; la position

de la courbe est donnée par œ"-.:-! h . . . •

Ces renseignements suffisent pour trouver la forme générale de la courbe, i'artons de la branche A. Nous ne pouvons quitter la région que

(') Ce tli(;orime a élc établi pour une courbe algcbii(jue. Mais la démonstration serait encore valable si, au lieu d'un polynôme à c<iefli<;ients <onstants, on supposait un polynôme à coefficients variables, mais finis poui' x ~^ y - <<.

CONSTRUCTION DES COURBES PLANES. igi

par le point 1> (*). Il nous faut ensuite passer par C (-), puis D (tangentiellement à CD), puis E, puis F, puis G et enfin aller à l'infini sur la branche H. Revenons maintenant à la branche 1 ; elle nous conduit en J, puis en K et enfin à l'infini sur la branche L. \ous avons ainsi toute la courbe.

Pour préciser son tracé, déterminons quelques points supplémentaires. Nous avons d'abord les points sur Or, qui sont donnés par une équation du second degré et ont pour ordonnées 0,79 et — 3,79. Les tangentes en ces points sont parallèles à 0.r, car/î. s'y annule, /y restant différent de zéro.

Nous avons ensuite un point sur Ox. Il est donné par une équation du cinquième degré, que l'on résout facilement par des substitutions faites à la règle à calculs. On trouve .37 = 1,28; la tangente a pour coefficient angulaire — 8, i5.

Fiar. 20.

Nous avons également coupé par la droite y =:^.^ , qui nous a donné: ^1 = — o, 89 ; .r2 = + 0,87 ; ^jzr: -i- 2, 12 et par la droite y =: — 2 , qui nous a donné: Xi = — 2,3i; .rj^r: — 0,66; .2:3=1-1-0,68. La droite

(') On ne peut sortir par J. car il faudrait couper Oy plus de deux fois. Or, il ne reste sur cette droite que deux points d'intersection à distance finie (qui sont dailleurs calculés plus loin).

(-) La tangente en ce point a pour coefficient angulaire — \.

IQi CHAPITRE XVI.

V ::= — 3 donne à peu près ^2^= — >r3=o,3o. La courbe est alors très bien déterminée (/(a'. 25).

EXERCICES PROPOSÉS