ETUDE DES COURBES PLANES EX COORDONNEES POLAIRES

Comme p décioîl à partir de r, la courbe part à rinléiieur de ce cercle. Pour les grandes valeurs de — oj. elle est daiileui-5 sensiblement confondue avec la spirale hvpeibolique ( u" Olij : poj = i.

Pour o> z=-f- a;, on a une spirale, qui se confond, à la limite, avec la spirale logaiithmique ( n° G13 i o = e'^. Voici enfin un Tableau de points supplémentaires :

(.•> radians. .

t» srrade.*.. .

i^oy

fi) radian-. .

oj grades.. .

— loi ,9

Pour 'j) ^^ 3, 0 ne difrère du p de la spirale logarithmique que de r , 33, soit environ de 6 pour 100. Pour oj = — 3, p ne dilière du 0 de la spirale liyperboliqiie que deo,o.J, soit environ de 7 pour 100.

La couibe e>t tracée sur la ligure 29 ( a ^^ ~"'"^.5 ).

o. Conslruire la courbe ( I ) p' sin 0) — p ^ cos 2 oj r= o.

L'équation admet la péiiode 27: en oj. L)e plus, si l'on change o) | tt — «. elle reste in\aiianle; il y a donc une symétrie par rapport à Oy et l'on

peut se borner à faire varier oj de ^ à -h - •

Discutons par rapport à p: la condition de réalité est

i — \ sin OJ cos 2 OJ ^" o ou (2) Ssin^oj — 4sinoj-^i^o.

Le premier membre admet la racine - en sin O). Ln divisant par

2 sin 0) — I, il reste une équation du second degré, dont les lacines sont

— - — • Finalement, l'inégalité (2) est satisfaite loi-.-.que 01 -e trouve

dan- lun des inteivalles i — 54°, + 18" ), 1 30", 90"). Pour oj = 'y'^", 18",

30°, l'équatinn (ii aune racine double égale à — : , soit — o,6iS;

^ 2 sin OJ

I .Gi-; I. En chacun de ce- points, la courbe est tangente au rayon vecteur.

2o6 i:hapiti<e wii.

Le signe de o dépend des signes de cos 2 w et sin oj. Il y a du changement pour o):=:±^-)" et pour oj ^:= o. Pour w = o, une racine devient infinie et l'autre égale à 1. C'ierclions l'asymptote qui correspond à la lacine infinie. Il nous faut la limite de 0^=0 sin w. ( )r, è est lié à m pai' l'équation

( 3 ) 0- — 0 4- si n Ci) cos 2 oj = o.

Quand (,) tend vers zéro, une lacine en 0 tend vers zéro; elle coirespond à la racine finie & r 1 ; l'autre racine en d tend vers 1 et nous donne la sous-asvmptote. Cherchons la position de la courbe. A cet eiïet, posons ô :::= I 4- V; l'équation ( 3 ) se réduit, en négligeant des infiniment petits d'ordre supérieur aux termes gaidés, à

< )n a donc, au second ordre près,

Si 0) est négatif, la courbe est au-dessus de l'asymptote ; d'ailleurs, p 1= — 00; donc, la courbe est à gauche {/iff- 3o). Four oj >> o, on \oit de même (|uc la courbe est au-dessous et à droite.

Cht'rchons la tangente au j)oint A ( rij = o, p =^ t ). Difierentions ( i ) par ra]>porl à w :

( 5) ■>-pp' sinç.) + p* cosco — p' — :>- sin id) := o.

Pour r,) = o. p:=i, cette é(|uation nous donne o' : -.: 1. Telle est la valeur de la sous-normale. ( )n l'n déduit ()ue la tangente en A est ])arallèle à la piemière bissectrice.

< )ccu|)ons-nous maintenant dis valeurs ± /i')". Poui- chacune (Telles, il y a une lacine nulle, donc uni' branche jtassant en ( >, admettant uui'

tangente d'angle polaire r,). L'autre racine est égale à -^ : le i)oint

*' r> I sin a) '

correspondant i^t donc sur l'asymptote, car rétjuation de celle-ci est

0 sin M I . < ]lierclions la tangente. Pour- o) ;^ ± 45°, p = —. j l'équa-

' ' sin 0)

tion (5 ) nous donne p' -^^ dz 9. — y/2. i>a sous-tangente \ aiit '— ^-^ ~7= J

P \/ 2 rp 2

c'esl-à-<liie 3, 4' «'l f'j "^'S"). Pour Iden guider la courbe, nous avons