CD + AB = C'D' + AB

Grâce à cette convention qui revient, en somme, à supposer que le polynôme commence par un terme nul non écrit, on peut écrire aussi des polynômes dont tous les termes ont le signe — . Un tel polynôme, par exemple

— ÂB — CD — ÈF,

est la somme des symétriques de tous ses termes,

en appelant A'B', CD', E'F' des segments symétriques de AB, CD, EF.

Remarquons encore, une fois pour toutes, que si l'on est amené à parler du signe du premier terme d'un polynôme, et que ce terme n'ait pas de signe, on doit le considérer comme affecté du signe + ; inversement, si Ton est amené à écrire à la première place, dans un polynôme, un terme précédé du signe +> on supprimera ce signe.

Théorème V

21. — Dans un polynôme géométrique, on peut toujours, sans rien changer, supprimer ou ajouter deux segments égaux affectés de signes contraires, ou deux segments symétriques affectés du même signe.

Ramenons le polynôme à la forme d'une somme; les deux segments donnés deviennent alors, dans tous les cas, deux segments symétriques affectés du signe -fs on peut les remplacer par leur somme effectuée (Th. III), et, comme cette somme est zéro, le théorème est démontré.

Théorème VI

Pour ajouter ensemble deux ou plusieurs polynômes géométriques, il suffit d'écrire & la suite les uns des autres tous leurs termes, chacun conservant son signe.

On a par exemple :

(âb-gd) + (Ef — GÏÏ) = ÂB — CD + ËF — GÏÎ.

En effet, si G 7 !) 7 et ÏÏG' sont symétriques de CD et GH, la première somme est égale à :

ou d'après le théorème III, à :

ÂI + g^+ëf + gW,

ce qui ne diffère pas de :

ÂB — GD + ÊF — GH, c. q. f. d.

Théorème YII

Pour retrancher d'un polynôme géométrique un autre polynôme géométrique, il suffit d'écrire & la suite des termes du premier, tous les termes du second changés de signe ou, ce qui revient au même, les symétriques de tous les termes du second, précédés des mêmes signes.

On a par exemple :

(ÂB — CD) — (ÊF — GH)=ÂB — CD — ÈF + GH.

En effet, si nous ajoutons EF — GH au polynôme qui figure au second membre, on obtient d'après le théorème précédent :

Âb — CD — ÊF + GH + ËF — GÏÎ,

ou encore ÂB — GD^ d'après le théorème V. La proposition est par suite démontrée.

On ferait voir de même que, si E'F' et G'H' sont symétriques de EF et GH, la différence donnée est égale à :