AB — CD + E'F' — G'H

Corollaire. — En changeant les signes qui précèdent tous les termes d'un polynôme géométrique, ou, ce qui revient au même, en remplaçant chaque terme du polynôme par son symétrique, et conservant les signes, on obtient un nouveau polynôme qui est représenté par un segment symétrique du segment qui représente le premier.

L'opération faite revient en effet à retrancher le polynôme donné de zéro, ce qui fournit un résultat symétrique (18, 3°):

22. — Les théorèmes précédents combinés ensemble permettraient d'énoncer de nombreuses conséquences particulières.

Voici comment on pourra les appliquer pour construire d'une façon simple le segment qui représente un polynôme géométrique : après avoir supprimé les termes qui se détruisent d'eux-mêmes en vertu du théorème V, on conservera tous les segments positifs avec leurs signes, et on remplacera tous les segments négatifs par leurs symétriques, pris avec des signes contraires; on n'aura plus alors que des segments positifs, les uns avec le signe +, les autres avec le signe — ; on fera la somme de ceux qui ont le signe -\-, et la somme de ceux qui ont le signe — ; on obtiendra ainsi deux segments dont il faudra faire finalement la différence.

En effet on a, d'après le théorème VII, l'égalité

ab+gd+ëf-m-rl=(âb+cd+ëf)--(gh+rl).

Celte construction n'est d'ailleurs pas essentiellement distincte de celle qui consiste à mettre le polynôme sous la forme d'une somme.

Plus généralement, on peut énoncer l'important théorème suivant :

Théorème VIII

On ne change pas nn polynôme géométrique en réunissant dans une même parenthèse affectée du signe +, tant de termes qu'on voudra de ce polynôme pris avec leurs signes, ou dans une même parenthèse affectée du signe — , tant de termes qu'on voudra pris avec des signes contraires.

C'est ainsi que Ton a :