THÉORIE DES NOMBRES ALGÉBRIQUES

§ l or . — Définition et comparaison des nombres algébriques.

25. — Ayant choisi une unité de longueur arbitraire, on appelle valeur algébrique d'un segment le nombre arithmétique qui mesure la longueur de ce segment, affecté du signe -\- ou du signe — , suivant que le segment donné est positif ou négatif.

Un nombre arithmétique ainsi affecté d'un signe est un nombre algébrique, positif ou négatif, suivant qu'il est affecté du signe + ou du signe — .

A chaque segment correspond un nombre algébrique qui mesurées segment. Inversement, à un nombre algébrique correspond une infinité de segments qui, ayant tous même longueur et même sens, sont tous égaux entre eux.

Aux segments positifs correspondent les nombres po* sitifs; aux segments négatifs, les nombres négatifs.

A un segment nul correspond le nombre zéro, qui n'a pas de signe.

La valeur absolue d'un nombre algébrique est le nombre arithmétique qui mesure la longueur du segment correspondant, c'est-à-dire encore le nombre arithmétique que l'on obtient en supprimant le signe du nombre algébrique.

Un nombre algébrique est dit entier ou fractionnaire, commensurable ou incommensurable, suivant que sa valeur absolue est elle-même un nombre arithmétique entier ou fractionnaire, commensurable ou incommensurable.

Exemple. — Les nombres algébriques

ont respectivement pour valeurs absolues 5, ~ et v^i; le

premier est entier et positif, le second est fractionnaire et négatif, le troisième est incommensurable et négatif.

Les nombres précédents ont été écrits entre parenthèses pour montrer que le signe est inséparable du nombre arithmétique qu'il précède. Généralement nous représenterons un nombre algébrique par une seule lettre équivalente à l'ensemble d'un signe et d'un nombre arithmétique.

26. — Gomme nous l'avons déjà dit, un segment est complètement déterminé par sa valeur algébrique, du moins si l'on ne fait attention qu'à sa longueur et à son sens, sa position sur la droite qui le porte restant indifférente.

Dans toute la théorie des segments développée dans le chapitre I er , nous avons constaté que Ton peut toujours remplacer un segment par un autre qui lui soit égal, c'està-dire que la position des segments sur la droite qui les porte est indifférente, et qu'il faut se préoccuper uniquement du sens et de la longueur; il en résulte que nous allons pouvoir développer maintenant une théorie des nombres algébriques toute semblable à celle des segments, en transportant aux nombres algébriques toutes les propriétés des segments qu'ils servent à mesurer.

Pour simplifier le langage, nous dirons simplement nombre au lieu de nombre algébrique; aucune ambiguïté n'en résultera si en même temps nous avons soin de ne

jamais oublier l'épithète arithmétique quand il s'agira d'un nombre arithmétique.

Deux nombres sont égaux s'ils ont même valeur absolue et même signe ; dans ces conditions, en effet, et dans ces conditions seulement , les segments correspondants sont égaux.

Si deux nombres ont même valeur absolue et des signes contraires, on dit qu'ils sont égaux et de signes contraires, ou encore symétriques; les segments correspondants sont, en effet, symétriques.

Il sera facile de transporter aux nombres les principes relatifs aux segments énoncés au n° 5.

27. — Un nombre a est supérieur, égal ou inférieur à un autre nombre ensuivant que le segment mesuré par a est lui-même supérieur, égal ou inférieur au segment mesuré par 6.

Par suite :

1° Un nombre positif est supérieur à tout nombre nul ou négatif; un nombre négatif est inférieur à tout nombre nul ou positif

2° De deux nombres positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande valeur absolue; de deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite valeur absolue.

On transportera de même aux nombres les principes 3 e et 4° du n° 7.

Exemple. — On aies inégalités

Pour indiquer qu'un nombre a est positif, on écrit :

pour indiquer qu'un nombre a est négatif, on écrit :

§ 2. — Addition et soustraction des nombres algébriques. Polynômes algébriques.

28. — On appelle somme de plusieurs nombres a, b, c,d, le nombre s qui mesure la somme des segments qui correspondent aux nombres donnés, et Ton écrit :

Une telle somme s'appelle souvent somme algébrique, pour éviter toute confusion avec l'idée arithmétique de gomme.

Il est aisé de transporter aux nombres toutes les propositions que nous avons énoncées à propos de l'addition des segments. Nous nous contenterons d'énoncer à nouveau les principales d'entre elles.

1° La somme de deux nombres égaux et de signes contraires est nulle; réciproquement, si la somme de deux nombres est nulle, ces nombres sont égaux et de signes contraires, ou bien tous deux nuls.

Exemple :

2° La somme de deux nombres de même signe est un nombre de même signe, qui a pour valeur absolue la somme des valeurs absolues des deux nombres donnés.

Exemple :

3° La somme de deux nombres de signes contraires est un nombre ayant pour valeur absolue la différence des valeurs absolues des deux nombres donnés, et qui a même signe que celui de ces deux nombres qui a la plus grande valeur absolue.

Exemple :

4° La somme de plusieurs nombres est indépendante de l'ordre de ces nombres,

o° On peut remplacer plusieurs parties d'une somme de nombres par leur somme effectuée; et inversement, on peut ajouter une somme à un nombre ou à une autre somme, en ajoutant ensemble ce nombre ou les diverses parties de cette seconde somme et les diverses parties de la première somme,

6° La somme d'un nombre quelconque de nombres de même signe est un nombre de même signe, qui a pour valeur absolue la somme des valeurs absolues des nombres donnés.

Exemple :

7° Pour calculer une somme de nombres non tous de même signe, on pourra commencer par additionner ensemble d'une part tous les nombres positifs, de l'autre tous les nombres négatifs ; on obtiendra ainsi deux nombres de signes contraires, qu'il suffira d'ajouter ensemble comme il a été dit plus haut (3°).

Exemple :

Enfin, relativement aux égalités et inégalités algébriques, c'est-à-dire entre nombres algébriques, nous pourrons dire :

8° En ajoutant un même nombre aux deux membres d'une égalité ou d'une inégalité, on obtient encore une égalité ou une inégalité de même sens.

9° En ajoutant membre à membre deux ou plusieurs égalités ou inégalités de même sens, on obtient encore une égalité ou inégalité de même sens. De même, en ajoutant membre à membre une ou plusieurs égalités et une ou plusieurs inégalités de même sens, on obtient une inégalité de même sens.

29. — On appelle différence de deux nombres a et b, le nombre d qui mesure la différence des segments qui correspondent aux nombres donnés, et Ton écrit :

Une telle différence s'appelle souvent différence algébrique, pour éviter toute confusion avec ridée arithmétique de différence.

Nous allons transporter aux nombres les principales propositions du § 4 (chap. I er ) relatives aux segments.

1° La soustraction est l'opération inverse de V addition. On a:

a = b -\- d, et aussi

2° Si b' est égal et de signe contraire à b, retrancher b de a est la même chose qu'ajouter b' à a. On a :

La soustraction n'est donc pas différente de l'addition .

3° On ne change pas un nombre en en retranchant zéro.

4° En retranchant un nombre de zéro, on obtient le nombre symétrique du premier.

5° La différence de deux nombres de même signe est un nombre qui a pour valeur absolue la différence des valeurs absolues de ces deux nombres, et dont le signe est celui du premier des nombres donnés ou le signe contraire, suivant que la valeur absolue de ce nombre est supérieure ou inférieure à celle du nombre à retrancher.

Exemple :

6° La différence de deux nombres de signes contraires est un nombre qui a pour valeur absolue la somme des

valeurs absolues de ces deux nombres, et dont le signe est celui du premier des nombres donnés.

Exemple :

7° En retranchant un même nombre des deux membres d'une égalité ou d'une inégalité, on obtient encore une égalité ou une inégalité de même sens.

8° En retranchant d'un même nombre les deux membres d'une égalité ou d'une inégalité, on obtient encore une égalité ou une inégalité de sens contraire à celui de la première.

9° En retranchant membre à membre deux égalités, on obtient encore une égalité,

10° En retranchant membre à membre deux inégalités de sens contraires, on obtient une nouvelle inégalité dont le sens est le même que celui de la première.

11° En retranchant membre à membre une égalité d'une inégalité, on obtient une nouvelle inégalité de même sens.

12° En retranchant membre à membre une inégalité d'une égalité, on obtient une nouvelle inégalité de sens contraire.

30. — Un polynôme algébrique est le résultat p d'une suite d'additions ou de soustractions effectuées sur des nombres donnés, a, b, c, d, ... On écrira par exemple :

À tout polynôme algébrique correspond un polynôme géométrique, et par suite les propositions du § 5 (chap. I er ) se transportent aisément aux nombres.

1° On ramène un polynôme algébrique à une somme algébrique en remplaçant la soustraction d'un nombre par l'addition du nombre symétrique.

C'est ainsi qu'en appelant c 1 et d' les nombres symétriques de c et d, on a :

2° On peut intervertir d'une façon quelconque l'ordre des termes d'un polynôme algébrique, chaque terme conservant le signe qui le précède.

Gomme au n° 20, il est entendu que s'il s'agit du premier terme, on le considérera comme précédé du signe -(- ; que si l'on met à la première place un terme précédé du signe -{-, on devra supprimer ce signe. Enfin, on conviendra que si l'on met à la première place un terme précédé du signe — , on laissera ce signe, et que l'on regardera récriture — a comme équivalente à a', en appelant a' le nombre symétrique de a ; de cette façon on arrivera même à la notion de polynômes dont les termes seront tous précédés du signe — .

11 faut encore observer avec soin de ne pas confondre les signes qui précèdent les différents termes d'un polynôme algébrique avec les signes de ces termes eux-mêmes.

Exemple. — On a les égalités

3° Dans un polynôme algébrique, on peut, sans rien changer, supprimer ou ajouter deux nombres égaux précédés de signes contraires, ou deux nombres symétriques précédés du même signe.

Exemple :

4° Pour ajouter deux ou plusieurs polynômes algébriques, il suffit d'écrire à la suite les uns des autres tous leurs termes, chacun conservant le signe qui le précède.

5° Pour retrancher d'un polynôme algébrique un autre polynôme algébrique, il suffit d'écrire à la suite des termes du premier tous les termes du second, en ayant soin de changer les signes qui les précèdent ; ou, ce qui revient au même, les symétriques de tous les termes du second, précédés des mêmes signes.

6° En changeant les signes qui précèdent tous les termes d'un polynôme algébrique, ou, ce qui revient au même, en remplaçant chaque terme du polynôme par son symétrique, on obtient un nouveau polynôme dont la valeur est égale et de signe contraire à celle du premier.

7° On ne change pas un polynôme algébrique en réunissant dans une même parenthèse précédée du signe -{-, tant de termes qu'on voudra de ce polynôme pris avec les signes qui les précèdent; ou, dans une même parenthèse précédée du signe — , tant de termes qu'on voudra, en changeant les signes qui les précèdent. Inversement, dans un polynôme algébrique complexe, on peut supprimer purement et simplement une parenthèse précédée du signe -\-; on peut aussi supprimer une parenthèse précédée du signe — , en ayant soin de changer les signes qui précèdent tous les termes qui y sont contenus.

8° Soit une égalité ou inégalité dont les deux membres sont des polynômes algébriques; si Von fait passer un terme d'un membre dans un autre en ayant soin de changer en même temps son signe, on ne trouble pas l'égalité ou l'inégalité.

En changeant les signes de tous les termes d'une égalité ou d'une inégalité, on obtient encore une égalité ou une inégalité de sens contraire.

Ajoutons que des égalités et inégalités algébriques en nombre quelconque pourront être combinées par voie d'addition et de soustraction dans des cas faciles à reconnaître.

31. — Pour calculer simplement la valeur d'un polynôme algébrique, on peut ramener ce calcul à celui d'une somme algébrique. On peut encore, et cette nouvelle méthode n'est pas essentiellement distincte de la précédente, après avoir supprimé les termes qui se détruisent d'euxmêmes, conserver tous les termes positifs avec les signes qui les précèdent, et remplacer tous les termes négatifs par leurs symétriques, en changeant. les signes qui les précèdent ; on n'aura plus alors que des nombres positifs, précédés les uns du signe -f-, les autres du signe — ; on

fera la somme de ceux qui sont précédés du signe + et la somme de ceux qui sont précédés du signe — ; on obtiendra ainsi deux nombres positifs dont il faudra finalement faire la différence.

Exemple. — Voici quelques transformations qui serviront d'exemple pour les théorèmes précédents.

Soit à calculer l'expression

Si l'on calcule directement, en partant des définitions, les valeurs des polynômes entre crochets, on trouve (+27), (-f-13), ( — 15); la valeur de l'expression donnée est donc :

ou, par un calcul direct, ( — 1).

Mais en appliquant ce qui a été dit, supprimons d'abord les crochets ; on obtient :

On peut calculer ce polynôme directement et on trouve ( — 1) pour sa valeur.

On peut aussi ramener ce calcul à celui de la somme algébrique

d'après le n° 28 (7°), cette somme est égale à (+52) + (—53), ou encore à (—1).

Enfin, si Ton applique ce qui a été dit en dernier lieu, on supprimera d'abord les termes — ( — 13) et — (+13), et l'on écrira l'expression donnée sous la forme

sa valeur est donc :

(+39)-(+40), ou(-l).

32. — De tout ce qui précède, il résulte clairement que tout ce que Ton dit en arithmétique sur le calcul des nombres arithmétiques s'applique exactement aux nombres algébriques positifs, sans aucune modification. Une opération faite sur des nombres positifs ne diffère pas de l'opération arithmétique correspondante faite sur les valeurs absolues de ces nombres, quand celle-ci est possible. De plus, le résultat de la comparaison de deux nombres positifs est le même que celui de la comparaison de leurs valeurs absolues. Aussi doit-on considérer les nombres algébriques positifs comme identiques aux nombres arithmétiques correspondants, c'est-à-dire à leurs valeurs absolues. En particulier, on représentera simplement d'habitude un nombre positif, (+5), par exemple, par sa valeur absolue 5, en supprimant les parenthèses et le signe +. Pour simplifier aussi, nous représenterons toujours un nombre négatif par sa valeur absolue précédée du signe — , en supprimant les parenthèses, toules les fois que celles-ci n'auront pas une utilité absolue.

C'est ainsi que le polynôme algébrique

(7) + (+4) + (-3)-(-8)-(+8) s'écrira simplement sous la forme

On simplifie encore cette forme en opérant comme nous l'avons dit à la fin du numéro précédent, c'est-à-dire en remplaçant tous les termes négatifs par leurs symétriques, à la condition de changer en même temps les signes qui les précèdent. Le polynôme précédent s'écrit alors :

Pour calculer sa valeur, on fera la somme 9 des termes précédés du signe + et la somme 16 des termes précédés du signe — ; la différence 9 — 16, ou — 7, est la valeur cherchée.

D'une façon générale, on voit que a désignant un nombre arithmétique, un polynôme algébrique se met

sous la forme d'un polynôme arithmétique en remplaçant les nombres positifs par leur valeur absolue, c'està-dire les termes de la forme + (-J- a) ou — (+ a) par ■faou — a simplement; et en remplaçant les termes de la forme -{-( — a) ou — ( — a) par —a ou -\-a.

On calculera d'ailleurs sur les polynômes algébriques mis sous la forme de polynômes arithmétiques, comme s'il s'agissait effectivement de polynômes arithmétiques, sans se préoccuper de la possibilité des opérations, en remarquant que, a et b désignant des nombres arithmétiques, la différence algébrique a — 6, c'est-à-dire d'une façon précise (+«) — (+6) est égale au nombre positif (a — b) ou au nombre négatif — (b — a), suivant que a est supérieur ou inférieur à b : elle existe toujours, tandis qu'il n'en est pas de même de la différence arithmétique a — b.

Il suffira d'un peu d'attention pour éviter toute erreur dans l'application des règles précédentes. Il faut reconnaître d'ailleurs que, si cette application est facilitée par l'emploi des signes d'opération + et — pour distinguer les nombres positifs et négatifs, cette même circonstance ne laisse pas d'introduire une certaine confusion, bien facile à la vérité à faire disparaître avec quelque réflexion.

33. Remarque. — Nous avons développé complètement au chapitre I er la théorie des segments, et nous avons pu ensuite nous contenter d'énoncer celle des nombres algébriques.

Il est clair que nous aurions pu procéder différemment, en ne donnant que les principes fondamentaux de la théorie des segments, de façon à obtenir les principes correspondants de la théorie des nombres algébriques, et en démontrant ensuite directement les autres propositions relatives aux nombres à l'aide des principes déjà connus : ces nouvelles propositions s'appliqueraient alors aux segments sans démonstration. Nous allons donner un exemple de cette méthode.

Pour faire la théorie des opérations, il n'est pas nécessaire d'avoir défini ce qu'on appelle segment ou nombre

plus grand ou plus petit qu'un autre. D'ailleurs, si Ton se reporte au n° 6, on voit qu'on peut dire d'un segment AB qu'il est supérieur, égal ou inférieur à un

autre CD, suivant que la différence AB — CD est positive, nulle ou négative. De la même façon, nous dirons qu'tw nombre a est supérieur y égal ou inférieur à un autre nombre b, suivant que la différence a — b est un nombre positif, nul ou négatif : cette définition correspond d'ailleurs à celle de l'arithmétique.

De cette définition et de la théorie des opérations, il est facile de tirer toutes les propositions relatives aux inégalités algébriques. On suivra la marche suivante pour obtenir les principales d'entre elles.

1° On ne trouble pas une inégalité a > b en ajoutant un même nombre c à ses deux membres.

En effet, on a par hypothèse a — b>0; d'ailleurs a — b—-{a-{-c) — (ô-j-c); donc on a aussi [a-\-c) — (b-\-c)>0, c'est-à-dire a-\-c> b-\-c, c. q. f. d. • 2° On ne trouble pas une inégalité en faisant passer un terme d'un membre dans un autre, à la condition de changer en même temps son signe.

Cette proposition résulte de la précédente (24, Th. IX).

3° En ajoutant membre à membre deux inégalités de même sens on obtient encore une inégalité de même sens.

Soit a > b et c > d les deux inégalités données ; les différences a — b et c — d sont positives et, par suite, il en est de même de leur somme. On a donc :

ou, d'après ce qui précède :

4° En retranchant membre à membre deux inégalités de sens contraires, on obtient une inégalité de même sens que la première.

Soit a > b, c < d les deux inégalités données ; les diffé-

rences a — b et d — c sont positives et par suite il en est de même de leur somme ; on a donc :

a — b-\-d — c > 0, ou bien

5° En changeant les signes de tous les termes d'une inégalité, on obtient une inégalité de sens contraire. Car si

a — b > c — d, on a (2°)

— c-\-d> — a^-b, c. q. f. d Et ainsi de suite.

§ 3. — Multiplication des nombres algébriques.

Puissances.

34. — On appelle produit d'un nombre algébrique a par un autre nombre algébrique b un troisième nombre p dont la valeur absolue est égale au produit des valeurs absolues des deux facteurs a et b, et qui a pour signe le signe -\- ou le signe — , suivant que les deux facteurs a et b sont de même signe, tous deux positifs ou tous deux négatifs, ou bien de signes contraires, l'un positif Vautre négatif.

On écrit axb=p,

ou plus simplement ab = p,

en supprimant le signe X de multiplication dans les mêmes circonstances que nous avons déjà indiquées en arithmétique, c'est-à-dire entre deux nombres représentés par des lettres, entre un nombre représenté par une lettre et un nombre représenté par des chiffres, enfin entre deux facteurs placés entre parenthèses. D'après la définition, on a par exemple :

Il est clair que, d'après la définition. même, on peut énoncer l'importante proposition suivante :

Théorème I

Un produit de deux nombres algébriques est indépendant de Tordre de ces deux facteurs.

La définition montre en effet que, si l'on remplace a par b et b par a, le produit conserve même valeur absolue et même signe.

C'est en vertu de cette proposition qu'il est inutile de distinguer un multiplicande et un multiplicateur dans la multiplication de deux nombres quelconques.

Remarque. — La définition que nous avons donnée du produit de deux nombres semble arbitraire; il est facile cependant de la justifier. Remarquons d'abord que l'on peut considérer un segment ou un nombre algébrique A comme une grandeur ; par suite on peut facilement définir, comme en arithmétique, le produit hk de A par un nombre arithmétique h. En effet, supposons d'abord h entier; hk est alors la somme de h segments ou nombres égaux à A; supposons maintenant h fraction-

naire, de la forme -, q étant entier : hk est alors le segment ou nombre qui, multiplié par q, reproduit A; supposons en troisième lieu h fractionnaire, de la forme £-,

p et q étant entiers : hk est alors le produit de - A par

p; si enfin h est incommensurable, le procédé ordinaire permet encore de définir hk.

Ceci posé, nous voyons que dans tous les cas le produit d'un nombre algébrique A par un nombre arithmétique h est un nombre algébrique qui a même signe que A et pour valeur absolue le produit de h par la valeur absolue de A. Répétons d'ailleurs encore une fois que, dans l'opération que nous venons de décrire, A joue le rôle

d'une grandeur : c'est pour souligner ce fait que nous avons employé une grande lettre, et utilisé la notation AA, qui ne présente pas d'ambiguïté, puisqu'il ne s'agit pas ici d'une multiplication ordinaire.

Or, nous savons que les nombres algébriques positifs et les nombres arithmétiques sont identiques : si donc nous voulons donner une bonne définition de la multiplication de deux nombres algébriques, opération qui n'a d'autre sens que celui qu'on lui donne par définition, il faudra d'abord que la multiplication d'un nombre algébrique par un nombre positif coïncide avec la multiplication de ce nombre algébrique par le nombre arithmétique correspondant au multiplicateur; donc, en premier lieu :

Le produit d'un nombre algébrique par un autre positif a même signe que le premier, et pour valeur absolue le produit des valeurs absolues des deux facteurs.

Si ensuite, nous admettons a priori que notre définition doit rendre possible, comme en arithmétique, l'interversion des deux facteurs d'un produit, nous sommes amenés à dire, d'après ce qui précède :

Le produit d'un nombre algébrique positif par un autre négatif a pour signe le signe — , et pour valeur absolue le produit des valeurs absolues des deux facteurs.

Enfin, comme nous constatons qu'en multipliant par un nombre négatif» le produit est de signe contraire à celui du multiplicande, quand celui-ci est positif, nous sommes amenés à généraliser cette règle et à dire :

Le produit d'un nombre algébrique par un autre négatif a le signe contraire du premier, et pour valeur absolue le produit des valeurs absolues des deux facteurs.

Nous avons ainsi retrouvé complètement notre première définition.

35. — On peut multiplier d'abord un nombre a par un nombre b; puis le produit ainsi obtenu par un nouveau nombre c; puis le produit ainsi obtenu par un nouveau nombre d; puis le produit ainsi obtenu par un nouveau nombre e; et ainsi de suite. Si p est le produit final,

p est un produit de plusieurs facteurs, et Ton écrit par exemple :

aXbXcXdXe^p,

ou plus simplement :

abcde=p,

Tordre des facteurs n'étant pas indifférent jusqu'à preuve du contraire.

Théorème II

Un produit de plusieurs facteurs a pour valeur absolue le produit des valeurs absolues des différents facteurs, et pour signe le signe + ou le signe — , suivant que les facteurs négatifs qui figurent dans le produit sont en nombre pair ou impair.

La première partie de cette proposition est évidente d'après les définitions; pour démontrer la seconde, remarquons d'abord qu'elle est vraie pour un produit de deux facteurs, en considérant bien entendu zéro comme un nombre pair.

Supposons donc qu'elle soit vraie pour un produit de n facteurs, et montrons qu'elle subsiste si on augmente d'une unité le nombre des facteurs : il est clair alors qu'elle sera toujours vraie, car, étant vraie poum=2, elle le sera encore pour n=3, par suite pour n = 4, et ainsi de suite.

Soit donc p un produit de n facteurs; si parmi ces facteurs il y en a ri qui sont négatifs, p est positif ou négatif, suivant que ri est pair ou impair, par hypothèse.

Introduisons un nouveau facteur; s'il est positif, le nouveau produit conserve le signe de p, et renferme encore ri facteurs négatifs; s'il est négatif, le nouveau produit a le signe contraire de p, et renferme n' + l facteurs négatifs; comme ri -\-i est impair ou pair suivant que ri est pair ou impair, on voit bien que dans tous les cas le nouveau produit est positif ou négatif suivant qu'il renferme un nombre pair ou impair de facteurs négatifs, c. q. f. d.

Exemple :

Du théorème que nous venons de démontrer résulte immédiatement le suivant :

Théorème III

Un produit de plusieurs facteurs ne change pas si Ton intervertit d'une façon quelconque Tordre des facteurs.

En effet, ni la valeur absolue, ni le signe du produit ne changent.

Théorème IV

Dans un produit de plusieurs facteurs, on peut remplacer plusieurs facteurs par leur produit effectué ; ou bien, inversement, on peut multiplier ensemble un nombre et un produit de plusieurs facteurs, en multipliant successivement le nombre par chacun de ces facteurs.

Ce théorème résulte du précédent comme en arithmétique.