Voici quelques principes évidents

1° Pour qu'un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit que l'un des facteurs soit nul.

2° Le produit d'un nombre par l'unité est égal à ce nombre.

3° Le produit d'un nombre par — 1 , c'est-à-dire par l'unité négative, est égal à ce nombre changé de signe.

Aussi écrit- on souvent :

- 4° En multipliant un même nombre par deux nombres symétriques, on obtient deux produits symétriques.

5° En remplaçant les deux facteurs d'un produit par leurs symétriques, on ne change pas le produit.

37. — Un produit de n facteurs égaux à un même nombre a est la puissance n me de a et s'écrit a n ; le nombre

arithmétique entier n est Yexposant de cette puissance.

Les puissances deuxième et troisième de a s'appellent respectivement le carré et le cube de a. Par convention, la première puissance d'un nombre est ce nombre luimême.

Les puissances de zéro sont toutes nulles.

Les puissances de i sont toutes égales à 1.

Les puissances d'un nombre positif sont toutes positives*

Les puissances de — 1 sont égales à -f- i ou à — 1 suivant que n est pair ou impair (Th. H).

Aussi, en désignant par n un entier positif, écrit-on souvent :

— 4 = (— l) ta +i, + ! = (-!)«».

Les puissances d'un nombre négatif sont positives ou négatives suivant que Fexposant est pair ou impair (Th. H).

Les puissances de même exposant de deux nombres symétriques sont égales ou symétriques suivant que cet exposant est pair ou impair.

On démontrera, comme en arithmétique, les théorèmes suivants :

Théorème Y

Le produit de diverses puissances d'un même nombre est une puissance de ce nombre dont l'exposant est égal à la somme des exposants qui correspondent aux divers facteurs.

En d'autres termes, on a :

ANDOYER. — ALGÈBRE. 3

Il est bien entendu qu'au nombre a lui-même correspond l'exposant 1 .

Corollaire. — Pour élever une puissance a q à la puissunce p, il suffit de multiplier V exposant q par le nouvel exposant p.

En d'autres termes, on a :

Théorèmk VL

Pour élever un produit de plusieurs facteurs à une certaine puissance, il suffit d'élever chacun de ces facteurs à cette puissance.

Théorème VII

38. — Pour multiplier ensemble un polynôme algébrique et un nombre, on multiplie chacun des termes du polynôme par ce nombre, et Ton réunit ensemble tous ces produits partiels, chacun d'eux étant précédé du même signe que le terme correspondant du polynôme.

Nous diviserons la démonstration de ce théorème en plusieurs parties.

1° Pour multiplier la somme de deux nombres par un nombre, on multiplie chacune des parties de la somme par le troisième nombre, et on ajoute les produits partiels ainsi obtenus.

En d'autres termes, on a toujours : ;

(a-\-b)c = ac-{-bc.

Nous appellerons a ot b , ç les valeurs absolues de a, b, c.

Supposons d'abord a et b de même signe; la valeur absolue de a + 6 est alors a -\-b (28, 2°); la valeur absolue de {a-\-b)c est donc (a -|-6 )c , ou d'après une proposition connue d'arithmétique, a c -\-b c . Les nombres ac et be sont de même signe et ont pour valeurs

absolues a c et b c ; la valeur absolue de ac -f- bc est donc aussi a c -f- b c .

D'autre part, les nombres a, b, a-\-b étant de même signe, il en est de même de ac, bc, {a+b)c et aussi par suite de la somme ac-\-bc. Les nombres {a~\-b)c çt ac ~\-bc, ayant même valeur absolue et même signe, sont égaux, c. q. f. d.

Supposons maintenant a et b de signes contraires; s'ils sont symétriques, il en est de même de ac et bc, et la proposition est évidente. Sinon, soit a >6 ; la valeur absolue de a-\-b est alors a — b (28, 3°); celle de (a-\-b)c est donc {a — b )c ou a c — b c . Les nombres ac et bc sont de signes contraires et ont pour valeurs absolues a c et b c ; la valeur absolue de ac-\-bc est donc aussi a c — b c , car on a a c > b o c .

D'autre part, a -f- b a le signe de a, et par suite (a -f- b)c le signe de ac; de même ac-\-bc a le signe de ac. Les nombres (a-f-ô)cet ac-\-bc, ayant même valeur absolue et même signe, sont égaux, c. q. f. d.

2° Pour multiplier une somme algébrique quelconque par un nombre, on multiplie chacune des parties de la somme par le nombre, et on ajoute les produits partiels ainsi obtenus.

Cette proposition est vraie, d'après ce qui précède, pour une somme de deux nombres; supposons alors qu'elle soit vraie pour une somme de n nombres, et faisons voir qu'elle subsiste si Ton augmente d'une unité le nombre des parties de la somme : le théorème sera complètement démontré.

Soit donc s=a-{-b-{-c-\-...-\-h-\-k-{-l une somme de n + 1 nombres; si nous appelons s' la somme a-\-b-\-...-\-h-\-k des n premiers, on a :

par suite, en appelant p le multiplicateur :

sp = [s' + l)p, ou d'après ce qu'on vient de démontrer :

sp=^s'p-\-lp.

Mais la proposition étant vraie par hypothèse pour une somme de n nombres, on a :

s r p = ap-\-bp-\- ...-j-Ap-j"*P> et par suite :

sp = ap-\-bp-\-...-\-kp-{-kp-\-lp t c. q. f. d.

3° Arrivons à la proposition générale énoncée au début, et soit à faire voir par exemple que Ton a :

(a — 6 — c-\-d — e)p = ap — bp — cp-\-dp — ep.

Si 6', c' et e' sont symétriques de 6, c, e, on a : a — ô — c-fd — e = a + £' + c'-fd+e',

et par suite, d'après ce qui précède :

(a — b — c-\-d — e)p = ap-\-b f p-\-c r p-\-dp-\-e'p;

mais b'p, c'p et e'p sont symétriques de bp, cp et ep; on a donc bien :

(a — b — c -f- d — e)p=ap — bp — cp-\-dp — ep,

Théorème VIII

Pour multiplier ensemble deux polynômes algébriques, on multiplie chacun des termes de l'un par chacun des termes de l'autre; et Ton réunit en* semble tous ces produits partiels, chacun d'eux étant précédé du signe + ou du signe —, suivant qu'il représente le produit de deux termes précédés du même signe ou précédés de signes contraires. On obtient ainsi un nouveau polynôme algébrique qui représente le produit cherché.

Soit par exemple à multiplier a — b -f- c par d — e; en vertu du théorème précédent, on peut écrire successivement :

=ad — bd-\-cd — (ae — be-\- ce) = ad — bd-\-cd — ae-f-6e — ce.

Le polynôme ainsi obtenu est précisément celui-ci qui résulte de la règle à démontrer. On ferait de même dans tous les cas.

On peut pratiquement énoncer le théorème sous la forme incorrecte, mais simple, suivante :

Pour multiplier ensemble deux polynômes algébriques, on les multiplie terme à terme, en obsewant que -\-par + et — par — donnent +, tandis que + par — et — par + donnent — .

Celte règle des signes est la même, naturellement, que celle qui sert à définir le signe du produit de deux nombres.

Exemple :

On a : .

En appliquant le théorème précédent, on pourra calculer aisément sur des polynômes algébriques complexes dont les termes seraient eux-mêmes des produits de polynômes algébriques.

Enfin, remarquons que le théorème précédent se généralise de la façon suivante :

Théorème IX

Pour multiplier ensemble plusieurs polynômes algébriques, on fait la somme des produits partiels obtenus en prenant de toutes les manières possibles un terme dans chaque polynôme, et observant la règle des signes.

Ce théorème vrai pour deux facteurs s'étend aisément à un nombre quelconque de facteurs en employant un mode de démonstration déjà rencontré.

39. — Les théorèmes précédents permettent, comme en arithmétique, d'énoncer les propositions suivantes :

1° Le carré de la somme ou de la différence de deux

nombres est égala la somme des carrés de ces deux nombres, augmentée ou diminuée de leur double produit :

(a — 6) 2 = a 2 — 2ab + b 2 .

2° Le produit de la somme de deux nombres par leur différence est égal à la différence de leurs carrés :

3° Le cube de la somme de deux nombres est égal à la somme de leurs cubes, augmentée de leur triple produit multiplié par leur somme :

(a + by = a 3 + b* + Zab (a + 6),

ce qu'on peut écrire encore :

(a + ô) 3 = a 8 + 3a*b + 3ab* + b\

On en déduit :

a* -f J» = (a + b) [a* — ab + b*).

' 4° Le cube de la différence de deux nombres est égal à la différence de leurs cubes, diminuée de leur triple produit multiplié par leur différence :

{a — bf = a 8 — b* — 3ab (a — b),

ce qu'on peut écrire encore :

(a — />) 8 = a 3 — 3a 2 6 + 3ai 2 — b\

On en déduit :

Remarque. — Cette dernière proposition ne diffère pas de la précédente ; si, en effet, dans la formule

(a + 6) 3 = a 3 + 6 8 + 3ab (a +6),

on remplace b par son symétrique b f , on a :

(a -f *') 3 = a 8 + 6' 8 + 3ai' (a + 6') ;

mais

Zab' (a + b') = — Zab {a — b) ;

on a donc :

( a — b)* = a* — b* — Zab{a — b).

Le procédé que nous venons d'appliquer ici est souvent employé pour modifier, au moins en apparence, une formule : on remplace un nombre quelconque m par son symétrique m!; la formule a encore lieu; puis on remplace m! par — m, et Ton obtient ainsi une nouvelle formule. Plus simplement on dit que Ton change m en — m.

5° La différence des m" puissances de deux nombres a jet b peut se mettre sous la forme d'un produit de deux facteurs dont Vun est la différence a — b de ces nombres; d'une façon précise, on a :

+a 2 6 m - 3 + ab m ~* -f 6 m ~ J ).

Si dans cette formule nous changeons b en — b, il vient, si m est pair,

a OT — 6 w = (a-f b)(a m - 1 — a m - 2 6-fa m - 3 6 2 — ...

et si m est impair,

+ a % b m -* — ab m -*+b t ^

en effet, on a (37) :

40. — Voici enfin quelques propositions relatives aux égalités et inégalités.

1° En multipliant les deux membres d'une égalité par un même nombre, on obtient encore une égalité.

2° En multipliant membre à membre deux où plusieurs égalités, on obtient encore une égalité*

3° En élevant les deux membres d'une égalité à une même puissance, on obtient encore une égalité.

4° En multipliant les deux membres d'une inégalité par un même nombre positif, ou en multipliant membre à membre une inégalité et une égalité dont les deux membres sont positifs, on obtient une inégalité de même sens.

En d'autres termes, am est supérieur ou inférieur kbm en même temps que a est supérieur ou inférieur à b, si m est positif.

En effet, la différence am — bm, ou (a — b) m, a le signe de a — b quand m est positif.

5° En multipliant les deux membres d'une inégalité par un même nombre négatif, ou en multipliant membre à membre une inégalité et une égalité dont les deux membres sont négatifs, on obtient une inégalité de sens contraire.

En d'autres termes, am est supérieur ou inférieur à bm en même temps que a est inférieur ou supérieur à b, si m est négatif

En effet, la différence am — bm ou (a — b) m est de signe contraire ha — b quand m est négatif.

On ne peut rien énoncer de général sur la multiplication des inégalités membre à membre : il faudra comparer les valeurs absolues etles signes desproduits trouvés, ce qui se fera aisément, en se servant des propositions correspondantes de l'arithmétique et appliquant la règle des signes ; les propositions précédentes se démontreraient d'ailleurs sans difficulté de cette façon.

En particulier on peut dire que :

6° En élevant les deux membres d'une inégalité à une même puissance d'exposant impair, on obtient encore une inégalité de même sens.

En effet, si m est impair, a m et b m ont respectivement mêmes signes que a et b, et la valeur absolue de a m est supérieure ou inférieure à celle de b m en même temps que la valeur absolue de a est supérieure ou inférieure à celle de 6.

7 ft En élevant les deux membres d'une inégalité a > b à une même puissance d'exposant pair, on obtient une

inégalité de même sens ou de sens contraire suivant que la somme a + b est positive ou négative; si cette somme est nulle, on obtient une égalité.

En effet, m étant pair, a m et b m sont positifs ; pour que Ton ait a m > b m , il faut donc que la valeur absolue de a soit supérieure à celle de b, et par suite, puisque Ton a a > 6, il faut d'abord que a soit positif; a étant positif et supérieur à b en valeur absolue, la somme a *\- b est positive.

De même, si Ton a a m < b n \ la somme a + b est négative ; si Ton a a m = 6 m , la somme a -|- b est nulle.

On peut raisonner différemment : supposons par exemple m = 6; d'après le n° 39 (5°), on peut écrire, en remarquant que Ton a a 6 = (a 1 ) 8 , b 6 = (6 1 ) 3 :

la seconde parenthèse est un nombre essentiellement positif, puisque c'est une somme de puissances paires, et par suite a 6 — 6 6 a le signe de a* — é 1 , ou encore de (a — b) (a + b) ; a 8 — 6 6 a donc le signe de a — b suivant que a -f- b est un nombre positif ou négatif.

Remarquons que si a et 6 sont positifs tous deux, leur somme est aussi positive ; s'ils sont négatifs tous deux, leur somme est négative.

Exemple. — Les inégalités

donnent respectivement, en élevant au carré, 9>4, 9>4, 4<9, 4<9,

et en élevant au cube :

- Ce qui précède montre bien qu'il faut prendre les plus grandes précautions, quand il s'agit de combiner les inégalités et égalités, non seulement par voie d'addition et de soustraction, mais encore par voie de multiplication.

§ 4. — Division des nombres algébriques.

Fractions ou rapports algébriques.

41. — - Diviser un nombre a, appelé dividende, par un autre b, appelé diviseur, c'est former un troisième nombre q, appelé quotient, qui, multiplié par b, reproduise a.

On écrit :

et l'écriture t s'appelle encore fraction algébrique ou rapport algébrique : dans ce cas, a et b reçoivent respectivement les noms de numérateur et de dénominateur de la fraction ou du rapport.

* Pour justifier la définition précédente, il faut montrer que le nombre q existe et est unique.

Pour qu'il en soit ainsi, il faut avant tout que le nombre b ne soit pas nul : le diviseur d'une division doit donc être supposé essentiellement différent de zéro.

b n'étant pas nul, il est clair que la valeur absolue de q sera le quotient exact (au sens arithmétique) des valeurs absolues de a et de b, et que le signe de q sera celui de b ou le signe contraire, suivant que le dividende a est positif ou négatif. Si a est nul, g est nul.

La justification annoncée est ainsi faite, et en même temps nous avons obtenu une règle pratique pour faire la division de deux nombres algébriques, savoir :

On divise exactement la valeur absolue du dividende par celle du diviseur, et le quotient obtenu est affecté du même signe que le diviseur ou du signe contraire, suivant que le dividende est positif ou négatif.

On voit que la règle des signes de la multiplication s'applique encore à la division : deux nombres de même signe ont un quotient positif; deux nombres de signes contraires ont un quotient négatif.

Exemple :

42. — La division des nombres algébriques est Topération qui correspond en algèbre à la division exacte en arithmétique. Ecrire :

-T = q ou a = bq,

sont deux choses équivalentes.

Nous allons étendre directement, en partant de la définition, aux rapports algébriques les propriétés des rapports arithmétiques; remarquons, d'ailleurs, que Ton pourrait faire cette extension en partant de ces dernières propriétés et de la règle de division des nombres algébriques.

i° Le rapport d'un nombre à l'unité est ce nombre luimême.

2° Le rapport d'un nombre à — 1 est égal à ce nombre changé de signe.

3° En remplaçant Vun des termes d f un rapport par son symétrique, on obtient un nouveau rapport symétrique du premier.

4° On ne change pas un rapport en en remplaçant les deux termes par leurs symétriques.

5° Le rapport de deux nombres égaux est égal à l'unité*

6° Le rapport de deux nombres symétriques est égal

7° Si m est supérieur à n, le rapport des puissances m e et n e du nombre a est égal da m ' D .

8° Pour diviser un polynôme algébrique par un nombre r on divise chacun des termes par ce nombre.

En d'autres termes on a :

a — b-\-c ji ^i .£,

En effet, d'après le théorème VII (38), on a :

9° En multipliant ou divisant les deux termes d'un rapport r par un même nombre m, non nul, on obtient un nouveau rapport égal au premier.

Montrons que Ton a :

am a #

bm~~b' soit l = q, d'où a = bq;

multipliant les deux membres de cette égalité par m, il

vient:

am=bqm,

d où :

am a e ,

■= — = ff = T> c. cr. t. a.

bm * b ^

On a aussi :

car le second rapport se déduit du premier en multipliant les deux termes de celui-ci par m.

De cette proposition on déduira comme en arithmétique :

40° On peut réduire plusieurs rapports à un même dénominateur quelconque.

11° Pour obtenir la somme ou la différence de deux

a a' rapports -;> -rde même dénominateur, il suffit de former

un nouveau rapport qui ait le même dénominateur d, et et pour numérateur la somme ou la différence des numérateurs a et a'.

Car si Ton a :

d'où a = dq, a' = dq',

on en tire par addition ou soustraction :

adza' = dq±dq'=d(qdzq'),

azàia* d'où — 2 — = 9—9 f y c. q. f. d.

En appliquant cette proposition, on pourra mettre sous forme d'un rapport unique un polynôme arithmétique dont les différents termes sont des rapports quelconques.

12° Pour multiplier entre eux deux rapports, il suffit de multiplier entre eux les numérateurs et les dénominateurs de ces deux rapports.

En effet, si Ton a :

d'où a = bq, a' = b'q' ;

on en tire, par multiplication :

aal = bb'qq',

d'où Td f=1 ^ ff c ' '* '* **'

Ge théorème s'étend sans peine à un produit de plusieurs facteurs et aux puissances.

13° Pour obtenir le quotient de deux rapports, il suffit de multiplier le premier rapport par le second renversé»

Car si r = q, t> = 0',

on a d'après ce qui précède :

ab'a! a ab' q

"7ïXï7 = x , dou "71= /* a'b b' b a'b q'

V inverse d'un nombre a est le nombre - ; ces deux

nombres sont toujours de même signe.

L'inverse d'un rapport t est donc le rapport renversé -»

Remarquons qtie diviser un nombre par un autre ou le multiplier par l'inverse de celui-ci sont deux opérations équivalentes.

14° Si plusieurs rapports r> p* ï77> ••• sont égaux, un

rapport tel que , km w/ i > obtenu en combinant

de la même façon par voie d'addition ou de soustraction les numérateurs et les dénominateurs des rapports donnés, est égal à la valeur commune de ces rapports. En effet, si l'on a :

la combinaison des égalités

a = bq, a' = b'q, a ,, = b r, q 1 ...

donne

a a!-\-a" + ...=:bq—b'q-\-b"q-{-...

= (6 ft' + ft" + ...) jr ,

d'où:

Il est clair d'ailleurs que, pour appliquer ce théorème, ûu peut commencer par multiplier ou diviser l'un quel-

conque des rapports donnés par un même nombre non nul. C'est ainsi que les égalités

entraînant

ma zt: m'a' bmzhm'b'

15° Si comme en arithmétique on appelle proportion l'égalité de deux rapports, et si Ton emploie les expressions moyens et extrêmes dans le même sens, on verra comme en arithmétique que :

Dans toute proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.

Réciproquement, si quatre nombres a, b, c, d sont teU que Von ait l'égalité ad=bc, ces quatre nombres sont en proportion de huit façons différentes.

Une proportion étant donnée, on obtient une nouvelle proportion lorsqu'on échange entre eux les deux extrêmes* ou bien les deux moyens, ou bien encore lorsque Von fait à la fois ces deux opérations.

La proportion - = -r entraîne les suivantes :

Et ainsi de suite.

Les expressions de quatrième proportionnelle et troU sième proportionnelle seront employées comme en arithmétique.

43. — Relativement aux égalités et inégalités, nou& pouvons énoncer les propositions suivantes :

1° En divisant les deux membres d'une égalité par un même nombre, ou en divisant un même nombre par les deux membres d'une égalité, ou encore en divisant membre à membre deux égalités, on obtient une égalité, . Il est bien entendu qu'on suppose ne rencontrer aucune: division dont le diviseur serait zéro.

2° En divisant les deux membres d'une inégalité par un même nombre, on obtient une égalité de même sens ou de sens contraire, suivant que ce nombre est positif ou né' gatif.

Car diviser par m revient à multiplier par — •

3° En divisant un même nombre m par les deux

membres ae^b d'une inégalité, on obtient une nouvelle

égalité de même sens ou de sens contraire, suivant que le

produit mab est négatif ou positif .

En effet, multiplions les deux membres de a > b par -y,

au

quantité quia même signe que mab; si mab est positif, il

vient -r > — ; et si mab est négatif, il vient — < — . Donc, à a o a

dans le second cas on a :

et dans le premier

Sur la division des inégalités membre à membre, on ne peut rien dire de général : on fera comme à propos de la multiplication.

44. — On peut imaginer que l'on ait à faire plusieurs multiplications et divisions successives : il faudra par exemple multiplier a par b, puis diviser le produit ainsi formé par c, puis diviser le quotient obtenu par d, enfin multiplier ce nouveau quotient par e. Si p est le résultat de ces opérations, on a :

ab p = -~Xe.

Nous laisserons au lecteur le soin de développer au sujet de telles expressions une théorie de tout point semblable à celle des polynômes algébriques : il suffit de se

rappeler que diviser par m ou multiplier par .— sont des

opérations identiques.

Donc, en particulier, on peut intervertir à volonté

Tordre des opérations; etc. Dans l'exemple ci-dessus, on

peut écrire :

6e a d abe .

P=-tX- = xa = --T, etc.

r d c c cd

Donnons un exemple de calcul numérique sur les nombres algébriques.

Soit à calculer l'expression suivante :

— 6 — 7 Ceci devient successivement :

ou

et finalement

§ 5. — Racines des nombres algébriques.

45. — On appelle racine m me ou racine d'indice m d'un nombre a, un nombre a' qui, élevé à la puissance m, reproduit a : le nombre m est, bien entendu, entier et positif.

D'après ce qui a été dit au n° 37, il est clair que : 1° Si m est impair, le nombre a' existe et est unique; il a pour valeur absolue la racine m*"* arithmétique de la valeur absolue de-a, et pour signe le signe de a. On écrit

comme en arithmétique, en employant la notation des radicaux ;

a' = Va.

Exemple :

2° Si m est pair, et si a est négatif, il n'existe pas de nombre a'.

3° Si m est pair, et si a est positif, il existe deux nombres a', égaux et de signes contraires, ayant chacun pour valeur absolue la racine m me arithmétique de a.

Si Ton représente cette racine arithmétique par va, on a donc : :

a' = ya ou bien a' = — Va; plus brièvement, on écrit :

a' = ztVa,

en énonçant plus ou moins racine m mc arithmétique de a, au second membre.

S'il n'y a pas à craindre d'ambiguïté, on supprime le mot arithmétique, afin d'abréger le discours.

Exemple. — Si a' est défini par la condition a' K =256, on a :

Comme en arithmétique, les racines seconde et troisième s'appellent racine carrée et racine cubique; l'indice 2 des radicaux carrés ne s'écrit pas ; un nombre a

peut être considéré comme sa racine d'indice 1, Va; si

l'on envisage un radical tel que Va~ p > P est Yexposant de ce radical.

46. — Pour calculer sur les racines d'indice quelconque des nombres algébriques, il suffit, d'après ce qui précède,

<le savoir calculer sur les nombres va, que l'on peut appeler radicaux algébriques, puisque a peut recevoir des valeurs négatives lorsque m est impair.

Nous avons étudié en arithmétique les règles dû calcul .des radicaux arithmétiques; nous allons rappeler ces règles, et voir dans quelle mesure elles s'appliquent aux radicaux algébriques. Pour obtenir ce dernier résultat, il nous suffira de remarquer : 1° qu'un radical algébrique d'indice pair est un radical arithmétique ; 2° qu'il en est -de même d'un radical algébrique d'indice impair, portant sur un nombre positif; 3° qu'un radical algébrique d'indice impair, portant sur un nombre négatif, est égal au radical arithmétique de même indice portant sur la valeur absolue de ce nombre, changé de signe; en d'autres termes, si m est impair, on a :

V — a = —Va.

1° On ne change pas la valeur d'un radical arithmé- . tique en multipliant par un même nombre entier l'indice et l'exposant de ce radical; on ne change pas non plus la valeur d'un radical arithmétique dont l'indice et l'exposant sont des multiples d'un même nombre entier^ en divisant l'indice et l'exposant par ce nombre.

En d'autres termes, pour les radicaux arithmétiques, on a la formule

Ce théorème subsiste pour les radicaux algébriques, -excepté dans le cas où, a étant négatif, p et m sont im- ■p&irs, et n pair. Alors l'égalité précédente n'a lieu qu'au signe près.

Par exemple, on a :

De ce théorème résulte la théorie de l'équivalence des .radicaux, et de la réduction de plusieurs radicaux au même indice, et en particulier, au plus petit indice comjnun. S'il s'agit de radicaux algébriques, les mêmes théories s'appliqueront, en ayant soin de tenir compte de l'exception précitée.

2° Le produit de plusieurs radicaux arithmétiques de

même indice est un radical arithmétique de même indice portant sur le produit des quantités placées sous les radicaux donnés.

Le théorème analogue a lieu pour le rapport de deux radicaux arithmétiques, et pour une puissance d'un radical arithmétique.

En d'autres termes, on a, pour les radicaux arithmétiques, les formules :

Va><Và><7c — n ^fc 9

Ta

Vb

Ces propositions subsistent entièrement pour les radicaux algébriques.

3° Le double radical arithmétique V\fa est égal au radical arithmétique Va.

Ce théorème subsiste encore pour les radicaux algébriques ; car, si a est négatif, il faut que m et p soient impairs, sans quoi les expressions considérées n'auraient pas de sens.

En particulier, il résulte des règles précédentes combinées avec celles du calcul des puissances, que si l'on a un nombre quelconque a, qui doit être successivement élevé à des puissances données et placé sous des radicaux d'indices donnés, on peut, comme en arithmétique, intervertir à volonté l'ordre des opérations, à condition que les symboles employés aient un sens.

Exemple. — On a :

Si maintenant les radicaux que l'on rencontre successivement sont susceptibles de réduction, il faudra faire ces réductions, mais en prenant les précautions nécessaires pour ne pas commettre d'erreurs de signes.

47. — Donnons quelques exemples simples qui nous montreront bien les précautions à prendre quand il s'agit

des racines des nombres algébriques et des radicaux algébriques.

1° Soit à calculer le produit Va X \b.

On réduit les radicaux au même indice ; ils deviennent

± Va 2 et Vo*, le premier étant précédé du signe + ou du signe — , suivant que a est positif ou négatif; on a donc :

fc></b = ±Vâw.

2° Soit à simpliBer sfa 1 .

On a :

ici il n'y a pas d'ambiguïté parce que a est nécessairement positif.

Mais s'il s'agissait de simplifier Va 6 , on aurait, si a est positif :

V^o" 6 = Va"* = a Sfà; si a est négatif, la même simplification ne s'applique pas, car /a 3 et >Ja n'ont pas de sens; on remarque alors que a 6 =(— a) 6 , et par suite :

ft? = l/(— «!)• = — a^â.

3° Soit la proportion :

En combinant comme en arithmétique les numérateurs et les dénominateurs de la même façon, on aura par exemple :

a a' u S/ a} — a'» -f aa! __ ^ô^f- a" - 35a 8 a'

* V v> — é' f + bb' ~ $b z + ô' 8 — 35ô 2 6 '

On choisira le signe -\- ou le signe — devant le troisième membre, suivant que les rapports t et - sont po-

sitifs ou négatifs ; les quantités placées sous les radicaux carrés doivent être positives; si d'ailleurs Tune d'elles Test, il en est de même de l'autre, puisque leur rapport

est .jr

C'est ainsi que de