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on déduit :

3 —6 V^ 2 — 3* fo 8 — 6 8

4° Si Ton étend aux nombres algébriques la notion de moyenne proportionnelle ou moyenne géométrique en disant que c est la moyenne proportionnelle entre deux nombres a et b quand on a la proportion

- = T , d'oùc 2 =aô, c b

on voit que deux nombres a et b ne peuvent avoir une moyenne proportionnelle que s'ils sont de même signe, et

alors ils en ont deux, égales l'une à + \^âb et l'autre à— \/a~b.

Remarquons en passant que les notions de moyenne arithmétique et de moyenne harmonique s'étendent d'ellesmêmes aux nombres algébriques.

5° On voit tou t de suite que V égalité a = b conduit à

V égalité VBL=Vb; de même, l'inégalité a>b entraîne

V inégalité va > Vb ; mais il faut bien remarquer qu'il s agit ici, si m est pair, des racines m me ° positives de a et b; par suite il faudrait bien se garder de conclure de l'inégalité a* > b* par exemple, la nouvelle inégalité a > b; ceci n'est vrai que si a est positif; si a est négatif, on a au contraire a < b.

Remarque. — On peut résumer les précautions h prendre en disant que si m est pair, on a VôF= a ou

bien ya^ = — a, suivant que a est positif ou négatif.

48. — Remarque générale. — 11 résulte de tout ce chapitre que les opérations sur les nombres algébriques se font toutes à l'aide des opérations de l'arithmétique et en observant certaines règles pour les signes. II est clair que, comme en arithmétique, il serait intéressant d'étudier spécialement les propriétés des nombres algébriques entiers ou des fractions algébriques à termes entiers : nous n'entrerons pas dans cette voie qui ne nous offrirait rien d'essentiellement nouveau, puisque ce sont les valeurs absolues des nombres qui joueraient alors le rôle prépondérant. Nous dirons seulement qu'on appelle diviseur d'un nombre algébrique entier a tout nombre algébrique b dont la valeur absolue divise celle de a; ainsi 4 et — 4 sont des diviseurs de — 16 et de -f- 16.

De même, on dit d'un nombre algébrique entier ou fractionnaire que c'est une puissance m me parfaite, lorsqu'il en est de même de sa valeur absolue, et que sa racine m me existe; ainsi — 216 est un cube parfait; — 16 n'est pas un carré parfait.

Exercices

1. — Calculer la valeur de la somme P — Q + R, en désignant par P, Q, R, les trois polynômes :

ba*b + 6a*b* — 76*, — 18a* — 7a*b* + $ab\ ' 27a* — 9a 8 fc+18a& 8 — 156*,

où les lettres a et b désignent respectivement les nombres — 3 et — 2.

2. — P, Q, R désignant les mômes polynômes que précédemment, mais les lettres a et b représentant les nombres 3 et — 4, calculer le produit P 8 Q*R.