MA__M'A

MB — M'B""*''

l'un de ces points, M par exemple, est situé entre A et B ; l'autre, M', est situé sur AX' ou sur BX.

Choisissons maintenant un sens positif sur X'X et considérons les deux segments MA et MB ; ils sont de sens contraires, et par suite leur rapport, c'est-à-dire celui de leurs valeurs algébri ques , est négatif, égal à — k; de même les segments M'A et M'B sont de même sens, et leur rapport est positif, égal à k.

L'introduction des nombres négatifs nous permet donc d'énoncer la proposition précise suivante :

Etant donnés deux points Ae(B sur une droite X'X, il existe toujours un point M et un seul sur cette droite, tel que le rapport des deux segments MA et MB soit égal à un nombre algébrique donné m.

Il n'y a exception que pour m = 1 : dans ce cas le point M n'existe pas; quand m tend vers 1, le point M s'éloigne indéfiniment sur X'X.

Pour tw = 0, on obtient le point A; pour m=— l,on a le milieu de AB ; quand m augmente en valeur absolue au delà de toute limite, le point M se rapproche indéfiniment de B.

Les deux points M et M' qui correspondent à des valeurs de m égales et de signes contraires, sont dits conjugués harmoniques par rapport aux points A et B.

Proposons-nous, connaissant les abscisses OA = a,

OB = b des points A et B, de calculer l'abscisse OM — x du point M qui partage AB dans le rapport m.

D'après un principe connu, on a :