MA

-=- n a pas de sens.

MB v

On voit avec quelle facilité nous avons obtenu cette formule qui est vraie dans tous les cas possibles. Pour m = — 1, on obtient :

donc, V abscisse du milieu âïun segment est égale à la moyenne arithmétique des abscisses de son origine et de son extrémité.

On pourra, comme exercice, vérifier directement cette proposition dans tous les cas de figure possibles. 52. Exemple II. — Pour définir la position d'un

point M dans un plan, on ^1 peut procéder de la façon

M' / M su ivante (fig. 10):

/ / / Traçons dans ce plan

L I deux droites XX et Y 7 Y

/ If * » / qui se coupent en O ; par M

X / l* ^ X menons une parallèle à

/ / Y'Y qui coupe X'X en P et

/ ^. M une parallèle à X'X qui

Y ,/ coupe Y'Y en Q ; il est elair

Fig> 10# que si Ton connaît les

points P et Q, on connaît le point M, puisque pour l'obtenir, il suffit de mener par P et Q des parallèles à Y'Y et à X'X et de prendre leur point d'intersection.

D'après ce qui précède, pour déterminer commodément les points P et Q, on choisira des sens positifs sur les droites X'X, Y'Y, soient les sens X'X et Y'Y,et l'on se donnera les valeurs algébriques des segments OP et OQ. Ces segments, ou plutôt leurs valeurs algébriques, s'appellent respectivement Y abscisse et Y ordonnée du point M; ensemble ce sont les coordonnées du point M; les droites X'X et Y'Y sont les axes de coordonnées; le point O est l'orîgine des coordonnées. La position du point M dans le plan est complètement déterminée par ses deux coordonnées. La figure montre suffisamment que pour un point situé

dans l'angle XOY, les deux coordonnées sont positives ; pour un point situé dans l'angle X'OY, l'abscisse est négative et l'ordonnée positive; pour un point situé dans l'angle X'OY', les deux coordonnées sont négatives ; pour un point situé dans l'angle XOY', l'abscisse est positive et l'ordonnée négative ; pour un point de l'axe des abscisses X'X, l'ordonnée est nulle; pour un point de l'axe des ordonnées Y'Y, l'abscisse est nulle.

On voit encore que pour construire le point M, connaissant ses deux coordonnées, on peut construire d'abord le point P, puis par ce point mener une parallèle à Y'Y et prendre sur cette parallèle, à partir de P, au-dessus ou au-dessous de X'X suivant que l'ordonnée donnée est positive ou négative, une longueur PM mesurée par la valeur absolue de cette ordonnée.

53. — Soient dans le plan deux points A et B {fig. 11) de coordonnées (a, b) pour le premier, (a', b') pour le second, et cherchons les coordonnées Fig. n.

x et y du point M, situé sur

AB, qui partage AB dans le rapport m.

A cet effet, soient ÔP, OQ, OR, les abscisses des points A, B, M; quelle que soit la disposition de la figure, R est ou n'est pas entre P et Q en même temps que M, et un théorème connu permet par suite d'écrire :