OB — AO
Réciproquement, lout point dont les coordonnées (x, y) vérifient la relation
appartient à la droite D ; en effet, appelons y' l'ordonnée du point de la droite D qui a pour abscisse x; en vertu delà proposition directe, on a :
cette relation comparée à celle qui forme l'hypothèse donne y' = y, et par suite le point considéré appartient bien à D.
Fig. 13.
Si une droite D est parallèle à X'X, tous ses points ont même ordonnée, ÔB (fig. 13).
Si une droite D est parallèle à Y'Y, tous ses points ont
même abscisse, "ÔÂ {fig. 14).
Si une droite D passe par l'origine des coordonnées
{fig. 15), on démontrera aisément que le rapport J des
coordonnées de l'un quelconque de ses points est constant, positif si la droite est dans les angles XOY, X'OY', négatif dans le cas contraire.
Fig. 15.
Fig. 16.
55. Exemple in. — Soit un triangle ABC {fig. 16); les côtés prolongés déterminent dans le plan sept régions distinguées sur la figure par des numéros.
Soient a 1 b, c, S les nombres arithmétiques qui mesurent les côtés BG, GA, AB et la surface du triangle; soit M un point quelconque du plan , et MP, MQ, MR les perpendiculaires abaissées de ce point sur les côtés BG, CA, AB.
Supposons M situé à l'intérieur du triangle ABC, dans la région (1); en menant MA, MB, MC, et en écrivant que la somme des surfaces des triangles MBG, MCA, MAB est égale à S, on obtient immédiatement la relation
«XMP + 6xMQ + cxMR = 2S.
Si M est dans la région (2), on a de même :
-rtXMP + 4xMQ-fcXMR = 2S.
Si M est dans la région (5), on a de même :
flXMP- 6xMQ — cXMR = 2S;
et ainsi de suite.
Ceci posé, appelons p } q, r les valeurs algébriques des distances MP, MQ, MR, obtenues en regardant MP par exemple comme positive ou négative suivant que M
est ou n'est pas du même côté que A par rapport à BG, et faisant une convention analogue pour MQ et MR. Il est facile alors de vériQer que, quelle que soit la position du point M dans le plan, on a toujours la relation
a P + H + cr ■"= 2S.
Cette unique formule convient à tous les cas. Si le triangle est équilatéral, on a :
— est d'ailleurs r la hauteur du triangle.
Si le triangle est isocèle et si M est pris sur la baseBC, on a p = 0, et par suite puisque b = c,
-j- est d'ailleurs une hauteur du triangle.
56. Exemple IV. — Soit un angle droit XOY (fig.il et 18) et sur les demi-droites OX, OY deux points fixes P
OL
Fig. 17.
Fig. 18.
et A; par P menons une parallèle Z'Z à OY, et prenons sur cette droite un point variable M. On considère la surface limitée par le contour OAMP et on demande le volume qu'elle engendre en tournant autour de OX.
76 LIVIIK l'RKUlKH.
La position du point M peut être déterminée par la va-
leur algébrique du segment PM, compté positivement dans
le sens Z'Z; on a deux cas de figure suivant que PM est positif ou négatif.
Soit OA = a, OP = h y PM = x; a et h sont des nombres positifs, x un nombre positif ou négatif; enfin appelons V le volume cherché.
Dans la figure 17, V est le volume d'un tronc de cône de hauteur A, les rayons des bases étant a et x; par suite,
Dans la figure 18, où x est négatif, V est la somme des volumes des deux cônes engendrés par la rotation des triangles AOS et MPS autour de OX, en appelant S le point où AM rencontre OX. Donc :
0SX0A 2 + PSXPM 2
D'ailleurs on a :
